Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

52 KAPITEL 2. FOLGEN UND REIHEN
Abbildung 2.3: Beispiele für Folgen:
Folge der natürlichen Zahlen
a n = n (rote Punkte), a n = 2n
(blaue Punkte), a n = n 2 (grüne
Quadrate)
Wert von c ab; trägt man ein der komplexen Ebene für jedes c ein, ob die Folge konvergiert
oder nicht, so ergibt sich das Apfelmännchen (Mandelbrot Menge, vgl. Abb. 6.10 und Diskussion
in Abschn. 6.5). Überraschenderweise ist die Grenze zwischen den Werten von c, für
die die Folge konvergiert, und denen, für die sie es nicht tut, nicht scharf sondern unendlich
detailliert: egal, auf welcher Skala man sie betrachtet, sie ist nie glatt sondern ähnelt sich
immer wieder. Kurven mit dieser Eigenschaft der Selbstähnlichkeit werden als Fraktale bezeichnet.
Dadurch können Punkte, die in der komplexen Ebene als Startwerte beliebig dicht
nebeneinander lagen durch das Iterationsschema zu unendlich voneinander entfernten Punkten
geführt werden. Dies ist eine der wesentlichen Eigenschaften von Chaos: das Ergebnis
kann sich mit einer minimalen Änderung der Anfangsbedingungen völlig verändern.
2.2 Folgen
§ 209 Eine Folge ist eine unendliche Menge von Zahlen, die durchnummeriert, d.h. eindeutig
auf die natürlichen Zahlen abgebildet werden können: a n mit n ∈ N. Folgen werden nicht
explizit angegeben, da man dann ihre unendlich vielen Glieder darstellen müsste. Stattdessen
werden Folgen durch ein Bildungsgesetz beschrieben, wie z.B. bei der Newton–Raphson
Methode in (2.1) oder bei der Mandelbrot Menge in (2.2).
§ 210 Die Definition einer Folge durch die Abbildung auf N mag unbefriedigend erscheinen.
Eine andere Möglichkeit der Definition geht vom Begriff der Funktion aus und betrachtet
eine Folge als eine spezielle Funktion mit Definitionsbereich N:
Definition 15 Eine Funktion mit der Menge N der natürlichen Zahlen ohne Null als Definitionsbereich
heißt Folge. Die einzelnen Funktionswerte heißen die Glieder einer Folge.
§ 211 Einige gebräuchliche Folgen sind:
• die Folge der natürlichen Zahlen (rote Punkte in Abb. 2.3):
a 1 = 1 , a 2 = 2 , a 3 = 3 , a 4 = 4 , . . . , a n = n , . . . .
• die harmonische Folge, gebildet aus den inversen der natürlichen Zahlen:
a 1 = 1 , a 2 = 1 2 , a 3 = 1 3 , a 4 = 1 4 , . . . , a n = 1 n , . . . , .
• die geometrische Folge, bei der jedes Glied durch Multiplikation mit einem festen Faktor
q aus seinem Vorgänger entsteht:
a 1 = a 0 q , a 2 = a 0 q 2 , a 3 = a 0 q 3 , a 4 = a 0 q 4 , . . . , a n = a 0 q n , . . . .
Diese Folge lässt sich auch auf einfache Weise rekursiv definieren:
a n+1 = qa n .
Für q = 1/2 ist uns diese Folge bereits bei Zeno’s Pfeil begegnet.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode