Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.9. NUMERISCHE VERFAHREN 285
und damit als Annäherung an die Ableitung
u k − u k−1
= f ′ (x k ) − h h
2! f ′′ (x k ) − h2
3! f ′′′ (x k ) + O(h 4 ) . (7.49)
Auch dieses Verfahren ist einseitig und von erster Ordnung, nur eben rückwärts gerichtet.
§ 1071 Der Mittelwert dieser beiden Schemata liefert eine zentrale Differenz
u k+1 − u k−1
2h
= f ′ (x k ) + h2
3! f ′′′ (x k ) + O(h 4 ) .
Hier heben sich die Terme mit der zweiten Ableitung f ′′ (x k ) heraus, der Fehler beginnt erst
mit dem h 2 -Term. Das Verfahren ist daher von zweiter Ordnung und damit bei gleicher
Schrittweite h genauer als das Vorwärts oder das Rückwärts Schema.
§ 1072 Die Differenz aus Vorwärts Schema (7.48) und Rückwärts Schema (7.49) gibt eine
Annäherung an die zweite Ableitung:
u k+1 − 2u k + u k−1
h 2
= f ′′ (x k ) + h2
4! f ′′′ (x k ) + O(h 4 ) .
Auch hierbei handelt es sich um ein zentriertes Schema mit einer Genauigkeit von zweiter
Ordnung. Mit Hilfe dieser Diskretisierung lassen sich auch zweite Ableitungen für ein numerisches
Schema aufbereiten ohne dass, wie in § 1043, die DGL zweiter Ordnung in zwei DGLs
erster Ordnung zerlegt werden muss.
Konsistenz und Genauigkeit
§ 1073 Der Fehler des numerischen Verfahrens entsteht durch die Vernachlässigung der
höheren Terme der Taylor Entwicklung bei der Diskretisierung. Quantifiziert wird dieser
Fehler durch den Truncation Error TE (Abbruchfehler):
Definition 65 Der Truncation Error TE ε i wird bestimmt, in dem die exakte Lösung û k an
Stelle der angenäherten Lösung in die Differenzengleichung eingesetzt wird.
§ 1074 Zur Zerfallsgleichung
dN
dt = Ṅ = −λN
gehört die Differenzengleichung
N k+1 − N k
∆t
+ λN k = 0 .
Der Truncation Error ist mit ˆN k als exakter Lösung an Stelle der Lösung N des numerischen
Schemas
ε k = ˆN k+1 − ˆN k
∆t
+ λ ˆN k ≠ 0 .
Taylor Entwicklung der Ausgangsgleichung (die Differenzengleichung kann nicht entwickelt
werden, da sie nur an diskreten Stützstellen definiert ist) liefert
(
ˆNk+1 −
ε k =
ˆN
)
k
+ λ
∆t
ˆN k + ∆t d 2 ˆNk
2 dt 2 + O((∆t) 2 ) .
Da die exakte Lösung die DGL erfüllt, verschwinden die Terme in der Klammer. Der verbliebenen
Truncation Error ist
ε k = ∆t d 2 ˆNk
2 dt 2 + O((∆t) 2 )
und damit von erster Ordnung un ∆t.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007