Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

360 KAPITEL 9. VERALLGEMEINERTE FUNKTIONEN
§ 1344 Die Definition der Heavyside Funktion erfolgt nicht über die Funktion sondern ihre
Ableitung zu
H ′ (x − x 0 ) = δ(x − x 0 ) . (9.8)
. (9.9)
Dieser Ausdruck wird erfüllt von der expliziten Definition der Heavyside Funktion als
{ 0 x < x0
H(x − x 0 ) = 1/2 x = x 0
1 x > x 0
Diese ist uns bereits bei der Definition der Signum Funktion (3.3) begegnet.
§ 1345 Wir haben bei (9.9) ein ähnliches Problem wie bei der Definition der δ-Funktion:
zwar ist der Verlauf der Heavyside Funktion plausibel, jedoch gibt es aus der Anschauung
keinen Grund, warum die Werte 0 bzw. 1 angenommen werden. Um dies plausibel zu machen,
verwenden wir (9.8) anstelle der δ Funktion und überprüfen, ob das aus der Definition der δ
Funktion geforderte Ergebnis entsteht. Auf Grund von (9.5) ist es ausreichend, sich auf ein
endliches Intervall a < x 0 < b zu beschränken, so dass wir uns nicht mit Integrationsgrenzen
im Unendlichen quälen müssen. Partielle Integration liefert
∫ b
a
∫b
H ′ (x − x 0 ) f(x) dx = [H(x − x 0 ) f(x)] b a −
= H(b) f(b) − H(a) f(a) −
= f(b) − f(x)| b x 0
= f(x 0 ) ,
a
H(x − x 0 ) f ′ (x)dx
∫ b
x 0
f ′ (x) dx
wobei im Restintegral verwendet wurde, dass die Heavyside Funktion für x < x 0 Null ist und
damit der Bereich [a, x 0 ) keinen Beitrag zum Integral liefert, d.h. die Integrationsgrenze von
a auf x 0 verschoben werden kann. Mit der Heavyside Funktion wie in (9.9) definiert verhält
sich H ′ genau wie für die δ Funktion gefordert.
9.2.6 Ladungsdichteverteilung als physikalisches Beispiel
§ 1346 Betrachten wir die Ladungsdichteverteilungen einer Kugelschale und einer Kugel,
jeweils mit Radius R und Gesamtladung Q. Bei der Kugelschale ist die Gesamtladung auf
eine Oberfläche von 4πR 2 verteilt, d.h. wir erhalten eine Flächenladungsdichte von Q/(4πR 2 ).
Dieser Wert verschwindet für alle r ≠ R und wird nur für r = R angenommen:
ϱ(⃗r) =
Q δ(r − R) .
4πR2 § 1347 Betrachten wir dagegen eine homogene massive Kugel, so haben wir nicht nur eine
Ladungsverteilung auf ihrer Oberfläche sondern auch im Innern der Kugel. Mit einem Kugelvolumen
von 4πr 3 /3 gilt dann für die Ladungsdichte Q/(4πR 3 /3). Ihre räumliche Verteilung
ist mit Hilfe der Heavyside Funktion so zu beschreiben, dass sie für r > R verschwindet
(keine Ladung außerhalb der Kugel) und für r < R den Wert der Ladungsdichte annimmt:
ϱ(r) =
3Q H(R − r) . (9.10)
4πR3 9.2.7 Delta Funktion in drei Dimension
§ 1348 Die δ Funktion in einer Dimension ist ein Spezialfall der allgemeineren dreidimensionalen
δ Funktion δ(⃗r − ⃗r 0 ). Diese ist analog zur eindimensionalen δ Funktion definiert durch
ihre Anwendung auf eine Funktion f(⃗r)
∫
δ(⃗r − ⃗r 0 ) f(⃗r) dV = f(⃗r 0 ) . (9.11)
V
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode