Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

2 KAPITEL 1. VEKTOREN
Abbildung 1.1: Beschreibung
einer Bewegung mit Hilfe von
Orts- und Verschiebungsvektor
in Abhängigkeit von der Zeit anzugeben sowie die Zusammenhänge zwischen diesen (und den
wirkenden Kräften). Eine gradlinige Bewegung wird in der Regel die Ortskoordinate s oder
x in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt, d.h. die Bewegung wird durch eine Funktion s(t)
bzw. x(t) beschrieben. Bei einer Bewegung im Raum ist die einzelne Koordinate durch ein
Tupel bzw. Tripel der Koordinaten zu ersetzen. Dieses Tupel/Tripel ist der Ortsvektor ⃗r des
Punktes. Die blauen Pfeile in Abb. 1.1 sind Beispiele für Ortsvektoren zu verschiedenen Zeiten
t i . Die Funktion ⃗r(t) beschreibt die Bewegung vollständig. Damit haben wir vektorwertige
Funktionen eingeführt, d.h. Funktionen, die nicht die Abhängigkeit eines Skalars von einem
anderen beschreiben wie x(t) sondern die Abhängigkeit eines Vektors von einem Skalar.
§ 37 Der rote Vektor ⃗v(t 1 ) in Abb. 1.1 ist eine Näherung an den vom Körper zurück gelegten
Weg. Er beschreibt die Verschiebung vom Punkt P 1 , gegeben durch den Ortsvektor r(t 1 ), zum
Punkt P 2 , gegeben durch r 2 (t). Dieser Vektor ist kein Ortsvektor, da er nicht vom Ursprung
des Koordinatensystems ausgeht, sondern ein Verschiebungsvektor. Mathematisch gilt
⃗V ∗ (t 1 ) = ⃗r(t 2 ) − ⃗r(t 1 ) .
Physikalisch ist der Verschiebungsvektor mit der Geschwindigkeit verknüpft: im Zeitintervall
[t 1 , t 2 ] hat sich der Körper von r(t 1 ) nach r 2 (t) bewegt mit der Geschwindigkeit
⃗v = ⃗r(t 2) − ⃗r(t 1 )
t 2 − t 1
= ∆⃗ V ∗
∆t
= ∆⃗r
∆t .
Streng gilt diese Gleichung nur für eine gradlinige gleichförmige Bewegung. Das gradlinig
mag in diesem Abschnitt der Bahnkurve gegeben sein, über Gleichförmigkeit liegt keine
Information vor: ⃗v ist daher eine mittlere Geschwindigkeit.
§ 38 Eine Definition für die momentane Geschwindigkeit ergibt sich ebenfalls aus Abb. 1.1.
Wie bei der gradlinigen Bewegung wird diese für den Grenzfall ∆t → 0 bestimmt:
⃗r(t + ∆t) − ⃗r(t)
⃗v(t) = lim
= d⃗r
∆t→0 ∆t dt .
Vektoren können nicht nur zur Darstellung vektorwertiger Funktionen verwendet werden;
diese lassen sich offenbar auch differenzieren.
§ 39 Eine andere Beschreibung einer Bewegung: der Startort ⃗r(t 1 ) zur Zeit t 1 (Anfangsbedingung)
ist bekannt, ebenso wie die momentane Geschwindigkeit ⃗v(t). Wo befindet sich der
Körper zur Zeit t 2 > t 1 ? Auch hier gibt Abb. 1.1 eine Antwort: von ⃗r(t 1 ) im Zeitintervall
∆t = t 2 − t 1 um ⃗ V ∗ (t 1 ) nach r(t 2 ) verschoben, oder formal
r(t 2 ) = ⃗r(t 1 ) + ⃗ V ∗ (t 1 ) = ⃗r(t 1 ) + ⃗v(t 1 ) (t 2 − t 1 ) .
Im Grenzfall unendlich kleiner Zeitintervall, d.h. ∆t → 0, ergibt sich
⃗r(t 2 ) = ⃗r(t 1 ) + lim
∆t→0
t 2
∑
t 1
⃗v(t) ∆t =
∫ t 2
t 1
⃗v dt .
Vektorwertige Funktionen lassen sich offenbar auch integrieren.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode