Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

176 KAPITEL 5. INTEGRATION
Abbildung 5.6: Bestimmung
der Fläche eines Viertelkreises:
in Polarkoordinaten ist
von 0 bis r und 0 bis π/2
zu integrieren, in kartesischen
Koordinaten hängt die Inte-
über y von x ab: y =
√gration
r2 − x 2
Zwischenrechnung 22 Verifizieren Sie, dass sich der gleiche Flächeninhalt ergeben hätte,
wenn man x von Null bis b hätte laufen lassen und entsprechend y von Null bis a.
§ 682 Und wenn jemand das Rechteck so verschiebt, dass seine linke untere Ecke sich im
Punkt (c, d) befindet? Dann verändern sich die Integrationsgrenzen. So startet die Integration
über x bei c und endet bei a + c. Insgesamt erhalten wir
∫
A ✷ = dA =
A
∫a+c
∫
b+d
x=c y=d
dy dx =
∫
a+c
x=c
b dx = ab .
Beruhigenderweise ändert sich die Fläche des Rechtecks bei einer Translation nicht.
§ 683 Versuchen wir jetzt eine kompliziertere Fläche, einen Viertelkreis im ersten Quadranten
mit Radius Eins. Das Flächenelement dA schreiben wir wieder in kartesischen Koordinaten
als dA = dx dy. Die Information, dass wir kein Rechteck sondern ein Kreissegment
betrachten wollen, müssen wir in die Integrationsgrenzen stecken. Diese hängen von einander
ab: zwar läuft x von 0 bis 1, jedoch ist y von x abhängig. Für x = 0 läuft auch y von 0 bis
1, für x = x max dagegen ist y = 0. Allgemein ist y = √ 1 − x 2 (siehe Abb. 5.6). Damit ergibt
sich für die Fläche
A =
∫ 1
x=0
√
1−x 2
∫
y=0
dydx =
∫ 1
0
√
1 − x2 dx =
In diesem Fall lässt sich die Integration nicht vertauschen.
[ 1
(
x √ ) ] 1
1 − x
2 2 + arcsinx = 1
0
4 π .
Doppelintegral in Polarkoordinaten.
§ 684 Die Integration des Viertelkreises in kartesischen Koordinaten hat sich als relativ
mühsam erwiesen: zum einen hängt dadurch eine Integrationsgrenze von der anderen Variablen
ab, zum anderen führt diese Abhängigkeit auf eine nicht ganz einfach zu integrierende
Funktion. Die Abhängigkeit der Integrationsgrenzen lässt sich vermeiden, wenn man ein Koordinatensystem
wählt, in dem sich das geometrische Objekt einfach, d.h. mit konstanten
Integrationsgrenzen, beschreiben lässt. Für den Viertelkreis bieten sich Polarkoordinaten an.
§ 685 Dann hat das Flächenelement nicht mehr die von den kartesischen Koordinaten bekannte
rechteckige Form dx §y sondern die Gestalt eines Kreissegments r dr dϕ, das durch die
Winkel ϕ 1 und ϕ 2 sowie die inneren und äußeren Radien r i und r a begrenzt ist. Mit diesem
Flächenelement haben wir uns bereits ausgiebig im Zusammenhang mit Abb. 4.13 und (4.17)
beschäftigt.
§ 686 Betrachten wir wieder unseren Viertelkreises mit Innenradius r i = 0, Außenradius
r a = 1, Anfangswinkel ϕ 1 = 0 und Endwinkel ϕ 2 = π/2, siehe Abb. 5.6. Die Fläche ist
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode