Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

88 KAPITEL 3. FUNKTIONEN
Abbildung 3.5: Die Funktion f(x) =
sin(x)/x ist an der Stelle x = 0 nicht definiert,
hat dort aber einen Grenzwert, der
sich mit Hilfe der Regel von l’ Hôpital bestimmen
lässt, vgl. § 351. Dass die Funktion
diese Definitionslücke hat, ist physikalisch
klar: Rotation um eine Achse x =
0 liefert den Sombrero, vgl. Abb. 3.22 –
und irgendwo muss die infinitesimal dünne
Achse ja durch gesteckt werden
Regel von l’ Hôpital
§ 350 Für den Fall, dass der Grenzwert an der Stelle x = a existiert obwohl die Funktion
dort nicht definiert ist, lässt er sich nach der Regel von l’ Hôpital bestimmen zu
f(x)
lim
x→a g(x) = lim f ′ (x)
x→a g ′ (x) , (3.1)
natürlich nur unter der Voraussetzung, dass die Ableitung g ′ (x) an dieser Stelle existiert.
Sollte dies nicht der Fall sein, so wird die Regel von l’ Hôpital so lange wiederholt bis die
entsprechende Ableitung definiert ist. Die Regel von l’ Hôpital lässt sich mit Hilfe des Mittelwertsatzes
beweisen (siehe § 512).
§ 351 Als Beispiel bestimmen wir den Grenzwert der Funktion f(x) = (sin x)/x an der Stelle
x = 0 mit Hilfe der Regel von l’ Hôpital zu
sin x
lim
x→0 x
= lim cos x
= cos 0 = 1 .
x→0 1
Dies lässt auch sich mit Hilfe des Funktionsplots in Abb. 3.5 bestätigen. Wir werden diesen
Grenzwert in § 494 zum Auffüllen der Definitionslücke verwenden und so eine stetige und
differenzierbare Funktion erzeugen.
Querverbindung 3 Die Funktion aus § 351 ist bereits aus Aufgabe 34 bekannt. Die Existenz
des endlichen Grenzwerts an der Stelle x = 0 ist erforderlich, damit das in Aufgabe 34 zu
bildende Integral endlich wird. Wie sieht es mit dem Grenzwert bei x = 0 für die Funktion
aus dem Integranden von Aufgabe 33 aus?
Stetigkeit
§ 352 Nicht von den Folgen bekannt ist der Begriff der Stetigkeit. Anschaulich kann man
eine stetige Funktion dadurch beschreiben, dass sie sich ohne Anheben des Bleistifts in einem
Zug durch zeichnen lässt; ein Konzept, das für eine Folge als eine nur an diskreten Stellen
definierte Funktion keinen Sinn macht. Für eine formale Definition der Stetigkeit können wir
die Informationen aus dem Abschnitt über Grenzwerte recyclen: sind in irgendeinem Punkt
der Funktion links- und rechtsseitiger Grenzwert unterschiedlich wie in Abb. 3.4, so müssen
wir an der Stelle den Bleistift anheben. Damit ist eine notwendige Bedingung für Stetigkeit
identifiziert: rechts- und linksseitiger Grenzwert müssen übereinstimmen für entweder den
Punkt x = x 0 , in dem die Funktion auf Stetigkeit überprüft werden soll, oder für alle x ∈ R
für den Fall, das Stetigkeit in R gegeben sein soll. Allerdings ist dies keine hinreichende
Bedingung: links- und rechtsseitiger Grenzwert können existieren, aber dennoch lässt sich
die Funktion nicht durchzeichnen, da der Funktionswert an dieser Stelle nicht definiert ist,
vgl. Abb. 3.5. Daher müssen wir fordern, dass die Funktion in dem Punkt, in dem Stetigkeit
bestimmt werden soll, definiert ist. Soll Stetigkeit für R gegeben sein, so muss f(x) existieren
für alle x ∈ R. Damit ergibt sich als Definition für Stetigkeit in einem Punkte:
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode