Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

532 ANHANG C. ERSTE HILFE
• die Summenregel: lässt sich eine Funktion f(x) als die Summe zweier Funktionen g(x) +
h(x) darstellen, so ist es egal, ob man zuerst die Summe bildet und dann integriert oder
erst die Integrale der Summanden bestimmt und dann addiert:
∫
∫
∫ ∫
f(x) dx = (g(x) + h(x)) = g(x) dx + h(x) dx .
Oder einfach formuliert: jeder Summand kann einzeln integriert werden.
• die Produktregel hat ihre Umkehrung in der partiellen Integration. Dazu schreiben wir
nochmals die Produktregel aus:
f ′ (x) = (g(x)h(x)) ′ = g(x)h ′ (x) + g ′ (x)h(x) .
Integrieren wir diese Gleichung einfach einmal (das heißt erst einmal nur, auf beiden Seiten
der Gleichung ein Integralzeichen und ein dx hinzuschreiben):
∫
∫
(g(x)h(x)) ′ dx = (g(x)h ′ (x) + g ′ (x)h(x)) dx .
Auf der linken Seite wird der Ausdruck g(x)h(x) erst abgeleitet und dann wieder integriert,
d.h. auf der Seite steht nur g(x)h(x). Auf der rechten Seite wenden wir die Summenregel
an:
∫
∫
g(x)h(x) = g(x)h ′ (x) dx + g ′ (x)h(x) dx .
Umstellen der Ausdrücke liefert die Regel für die partielle Integration:
∫
∫
g(x)h ′ (x) dx = g(x)h(x) − g ′ (x)h(x) dx .
Sollen wir also eine Funktion f(x) integrieren, die wir als das Produkt zweier Funktionen
g(x) und h ′ (x) darstellen können, so bestimmen können wir diese Gleichung verwenden.
Allerdings bleibt dann auf der rechten Seite weiterhin ein Integral stehen – partielle Integration
macht nur dann Sinn, wenn dieses Restintegral einfacher auszuführen ist als das
ursprüngliche Integral.
Auf Grund ihrer Herkunft aus der Produktregel wird die partielle auch als Produktintegration
bezeichnet.
• die Kettenregel findet ihre Entsprechung in der Substitutionsmethode. Wieder betrachten
wir eine Funktion f, die sich in der Form f(g(x)) darstellen lässt, d.h. wir haben wieder
eine äußere Funktion f(g) und eine inneren Funktion g(x). Um die Integration ausführen zu
kennen, ersetzen wir diese innere Funktion durch eine Variable u und passen das Differential
dx an, in dem wir die Abhängigkeit u(x) verwenden:
∫
∫
f(g(x)) dx = f(u) du u
mit
u = g(x) , u ′ = du
dx
bzw. dx =
du
u ′ .
Um Vertrauen in die Regel zu gewinnen, leiten wir beide Seiten nach x ab:
∫
d
f(g(x)) dx = d ∫
f(u) du
dx
dx u ′ .
Auf der linken Seite hebt die Ableitung die Integration genau auf, d.h. wir erhalten f(g(x)).
Auf der rechten Seite dagegen müssen wir f(u) unter Verwendung der Kettenregel differenzieren,
so dass wir erhalten
f(g(x)) = d
dx
∫
f(u) du u = ∫
∫
d du
(f(u))
dx u ′ =
f(u) · u′
du = f(u) = f(g(x)) .
u
′
§ 1889 Eine kurze Warnung: jeder Funktion lässt sich differenzieren. Im Gegenzug lässt sich
aber nicht jede Funktion auch Integrieren.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode