Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

12.2. VERTEILUNGSFUNKTIONEN 445
Abbildung 12.4: Wahrscheinlichkeitsverteilung
F und Dichtefunktion f für die
Buchstaben des Alphabets in deutschsprachigen
Texten, angeordnet nach der
Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens
ner stetigen Zufallsvariablen X lässt sich durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder
Dichtefunktion f(x) oder durch die zugehörige Verteilungsfunktion
F (x) = P (X ≤ x) =
vollständig beschreiben.
∫ x
−∞
f(x) dx
§ 1659 Dichtefunktion f(x) und Verteilungsfunktion F (x) besitzen die folgenden Eigenschaften:
1. die Dichtefunktion ist stets größer gleich Null, da die Wahrscheinlichkeiten größer gleich
Null sind: f(x) ≥ 0,
2. f(x) ist normiert: ∫ +∞
f(x) dx = 1.
−∞
3. die monoton wachsende Verteilungsfunktion F (x) ist eine Stammfunktion der Dichtefunktion:
F ′ (x) = f(x).
4. Die Wahrscheinlichkeit, dass die stetige Zufallsvariable X einen Wert zwischen a und b
annimmt, ist
P (a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
f(x) dx = F (b) − F (a) .
§ 1660 Die Lebensdauer einer biologisch abbaubaren Substanz gehorcht einer Exponentialverteilung
f(t) = λe −λt . Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Molekül nach einer Zeit t = 2/λ
noch nicht zerfallen ist, beträgt
∫
P (0 ≤ T ≤ 2/λ) =
2/λ
0
λe −λt dt = 0.86 .
§ 1661 In der kinetischen Gastheorie wird ein Gas als Ensemble von Teilchen beschrieben,
die sich mit zufällig verteilten Geschwindigkeiten bewegen. Für ein ideales Gas ist diese die
Maxwell–Boltzmann-Verteilung, vgl. Abschn. 12.3. Die Größe, deren Verteilung betrachtet
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007