Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

318 KAPITEL 8. MATRIZEN
Transponieren bedeutet Spiegelung an der Haupdiagonalen. Damit bleiben die Elemente auf
der gleichen Nebendiagonalen bzw. Parallelen dazu, so dass diese Produkte ihre Werte nicht
verändern. Auch die Hauptdiagonale und ihre Parallelen verändern sich nicht, lediglich ihre
Anordnung ist vertauscht.
§ 1182 Eine Determinante wechselt ihr Vorzeichen, wenn zwei Zeilen oder Spalten vertauscht
werden; z.B.
∣ ∣ a 1 a 2 a 3 ∣∣∣∣∣ a 1 a 3 a 2 ∣∣∣∣∣ b 1 b 2 b 3 = −
b 1 b 3 b 2 .
∣ c 1 c 2 c 3
∣ c 1 c 3 c 2
Diese Regel folgt direkt aus der Definition der Determinanten. betrachten wir eine 3 × 3-
Matrix und wenden die Regel von Sarrus an. Dann werden bei der Matrix mit vertauschten
Zeilen die gleichen Produkte erzeugt wie bei der Ausgangsmatrix, allerdings wandern jetzt
Produkte von der Huptdiagonalen oder einer ihrer Parallelen auf die Nebendiagonale oder einer
ihrer Parallelen und wechseln damit das Vorzeichen. Also wechselt auch die Determinante
das Vorzeichen. So steht in der Ausgangsmatrix das Produkt a 2 b 3 c 1 auf der ersten Parallelen
zur Hauptdiagonale und wird in der Matrix mit den vertauschten Zeilen die Nebendiagonale
während das Produkt c 1 b 2 a 3 aus der Nebendiagonalen in die erste Parallele zur Hauptdiagonalen
wandert. In beiden Fällen ist die Wanderung mit dem geforderten Vorzeichenwechsel
verbunden.
§ 1183 Daraus folgt, dass eine Determinante mit zwei gleichen Zeilen oder Spalten den Wert
Null hat; z.B.
∣ a 1 a 2 a 3 ∣∣∣∣∣ b 1 b 2 b 3 = 0 .
∣ a 1 a 2 a 3
Vertauschen wir die beiden gleichen Zeilen bzw. Spalten, so ändert sich nach § 1182 das
Vorzeichen der Determinante ohne das sich die Determinante verändert, da ja die Zeilen
bzw. Spalten identisch sind. Das ist aber mathematisch nur dann möglich, wenn der Wert
der Determinanten Null ist.
§ 1184 Angewandt auf ein lineares Gleichungssystem bedeutet die Existenz zweier gleichen
Spalten oder Zeilen, dass die Gleichungen nicht linear unabhängig sind sondern dass eine
Gleichung doppelt auftritt. Dann ist das Gleichungssystem unterbestimmt und damit nicht
mehr eindeutig lösbar, in Übereinstimmung damit, dass nur Gleichungssysteme mit regulärer
Matrix, d.h. mit einer Determinante ungleich Null, lösbar sind.
§ 1185 Determinanten verschwinden, wenn alle Elemente einer Zeile oder Spalte Null sind:
∣ a 1 0 a 3 ∣∣∣∣∣ b 1 0 b 2 = 0 .
∣ c 1 0 c 3
Die Regel ist trivial. Bei einer 3 × 3-Matrix erkennt man bei der Anwendung der Regel
von Sarrus, dass stets einer der drei Faktoren in den Summanden Null ist und damit alle
Summanden verschwinden. Einfacher erkennt man das Verschwinden der Determinante, wenn
man nach der Zeile bzw. Spalte mit den Nullen entwickelt: dann verschwinden die Vorfaktoren
vor allen Unterdeterminanten und damit auch die Determinanten.
§ 1186 Eine Determinante wird mit einem Skalar λ multipliziert, indem man die Elemente
einer Zeile oder einer Spalte mit λ multipliziert; z.B.
∣ ∣ a 1 a 2 a 3 ∣∣∣∣∣ a 1 a 2 a 3 ∣∣∣∣∣
λ det A = λ
b 1 b 2 b 3 =
b 1 b 2 b 3 .
∣ c 1 c 2 c 3
∣ λc 1 λc 2 λc 3
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode