Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.4. ANWENDUNGEN 341
müssten wir zumindest bestimmen, mit welcher Seitenkannte. Die Raumdiagonale ist d ⃗ =
(a, b, c)/ √ a 2 + b 2 + c 2 . so dass sich für das Trägheitsmoment ergibt
⎛
⎞ ⎛
m
I d =
a 2 + b 2 + c 2 ( a b c ) ⎝ (b2 + c 2 )/3 −ab/4 −ac/4
−ab/4 (a 2 + c 2 )/3 −bc/4 ⎠ ⎝ a ⎞
b ⎠
−ac/4 −bc/4 (a 2 + b 2 )/3 c
⎛
⎞
m
=
a 2 + b 2 + c 2 ( a b c ) ⎝ a(b2 + c 2 )/3 − ab 2 /4 − ac 2 /4
−a 2 b/4 + b(a 2 + c 2 )/3 − bc 2 /4 ⎠
−a 2 c/4 − b 2 c/4 + c(a 2 + b 2 )/3
(
m a 2 (b 2 + c 2 ) + b 2 (a 2 + c 2 ) + c 2 (a 2 + b 2 )
)
=
a 2 + b 2 + c 2 (
3
m a 2 b 2 + a 2 c 2 + a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 )
−
a 2 + b 2 + c 2 4
m (
=
a 2
6(a 2 + b 2 + c 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2) .
)
Dieses Trägheitsmoment entspricht nicht dem, was wir bei der Rotation um eine zu einer
Seitenkante oder dazu parallele Achse erwarten.
Hauptachsentransformation
§ 1283 Mit Hilfe des Trägheitstensors können wir jetzt Trägheitsmomente für die Drehung
dieses Körpers um eine beliebige Achse durch den Körperschwerpunkt (?) beschreiben. Die
Trägheitsmomente für die Drehung um eine Achse parallel dazu durch einen beliebigen Punkt
lässt sich mit Hilfe des Steiner’schen Satzes bestimmen.
§ 1284 Die Hauptachsentransformation soll, wie der Name andeutet, etwas Ordnung in
das Chaos dieser Drehachsen bringen. Sie transformiert in ein Bezugssystem, in dem der
Trägheitstensor von Null verschiedene Elemente nur auf der Diagonalen enthält, d.h. a ij = 0
für i ≠ j. Diese Diagonalelemente werden als Hauptträgheitsmomente bezeichnet. Im dazu
gehörigen Koordinatensystem, dem Hauptachsensystem, ist der Zusammenhang zwischen
Drehimpuls L ⃗ bzw. Rotationsenergie W rot und Winkelgeschwindigkeit ⃗ω besonders einfach:
⎛
⃗L = I ⃗ω oder ⎝ L ⎞ ⎛
1
L 2
⎠ = ⎝ I ⎞ ⎛
1 0 0
0 I 2 0 ⎠ ⎝ ω ⎞
1
ω 2
⎠
L 3 0 0 I 3 ω 3
bzw.
W rot = 1 2 ⃗ωT I⃗ω = 1 2 ( ω 1 ω 2 ω 3 )
⎛
⎝ I ⎞
1 0 0
0 I 2 0 ⎠
0 0 I 3
⎛
⎝ ω ⎞
1
ω 2
⎠ .
ω 3
§ 1285 Bei der Rotation eines Körpers um eine seiner Hauptachsen ist der Drehimpulsvektor
parallel zum Vektor der Winkelgeschwindigkeit
I⃗ω = I⃗ω oder (I − IE)⃗ω = 0 ,
d.h. die Hauptachsen lassen sich mit einer Eigenwertgleichung bestimmen:
I 11 − I I 12 I 13
|I − IE| =
I 21 I 22 − I I 23
!
= 0 .
∣ I 31 I 32 I 33 − I ∣
§ 1286 Betrachten wir noch als Beispiel noch einmal den Trägheitstensor des Quaders aus
§ 1280:
⎛
⎞
2/3 −1/4 −1/4
I = ma 2 ⎝ −1/4 2/3 −1/4 ⎠ .
−1/4 −1/4 2/3
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007