Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

452 KAPITEL 12. STATISTIK
§ 1686 Eine normalverteilte Zufallsvariable X mit den Parametern µ und σ lässt sich mit
Hilfe der Variablentransformation
U = X − µ
σ
(12.12)
in die standardnormalverteilte Zufallsvariable U überführen. Dieser Vorgang wird als Standardisierung
oder Umrechnung in Standardeinheiten bezeichnet. Die standardisierte Normalverteilung
ist in Tabelle 12.2 gegeben. Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit P (a ≤ X ≤ b)
erfolgt mit Hilfe der normierten Normalverteilung F n gemäß
P (a ≤ X ≤ b) = F n
( b − µ
σ
)
− F n
( a − µ
σ
§ 1687 In einer Population von 600 Sportstudenten wird eine mittlere Größe von µ = 180 cm
bei einer Standardabweichung von σ = 4.2 cm bestimmt. Die Größe sei normalverteilt mit
f(x) = √ 1 (
)
1
2π 4.2 exp (x − 180)2
− .
35.28
Um mit dieser Verteilung weiter arbeiten zu können, normieren wir sie auf eine Standard-
Normalverteilung mit u = (x − 180)/35.28. Suchen wir jetzt die Zahl der Studierenden mit
Größen von mehr als 200 cm, so erhalten wir u = 1.13 und können aus Tab. 12.2 direkt
ablesen P (U ≥ 1.13) = 1 − F (1.13) = 1 − 0.87 = 0.13, d.h. 13% der Studierenden oder 77
Studierende werden größer als 2 m sein.
§ 1688 Die Normalverteilung ist eine Approximation der Binominalverteilung für große n
mit Mittelwert µ = np und Standardabweichung σ = √ npq = √ np(1 − p). Die Annäherung
der Binominalverteilung durch eine Normalverteilung ist zulässig für npq = np(1 − p) > 9.
§ 1689 Da die Gauß-Verteilung normiert ist, bleibt die Fläche unter der Kurve konstant.
Wird die Gauß-Verteilung immer schmaler, so wird der Peak immer höher und die Verteilung
bildet eine Annäherung an die δ-Funktion, vgl. Abschn. 9.2.1.
§ 1690 Gauß-Verteilungen sind nicht auf eine Ebene beschränkt sondern können auch als
mehrdimensionale Verteilungen auftreten. Die Dichtefunktion der zweidimensionalen Gaußverteilung
ist gegeben als
f(x, y) =
⎛
1
√
2πσx σ y (1 − ϱ xy ) exp
⎝−
x 2
σx
2
)
.
− 2 ϱxyxy
σ xσ y
2(1 − ϱ xy )
+ y2
σ 2 y
Für ϱ xy zerfällt der Ausdruck in das Produkt aus zwei gewöhnlichen Gauß-Verteilungen.
⎞
⎠ .
12.3 Entropie und Maxwell Boltzmann-Verteilung
§ 1691 Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses lässt sich durch wiederholtes
Ausführen des Experiments bestimmen. Dies ist bei einem Würfel oder beim Münzwurf
einfach zu realisieren, lässt sich in komplexeren Systemen jedoch häufig nicht durchführen,
da die Experimente nicht beliebig wiederholbar sind.
§ 1692 Um trotzdem Wahrscheinlichkeitsaussagen machen zu können, verwendet man das
Prinzip der maximalen Unbestimmtheit: von allen möglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen,
die mit den bekannten Informationen über ein System verträglich sind, wird diejenige
angenommen, die soweit wie möglich unbestimmt ist, d.h. die auf keinen zusätzlichen Annahmen
basiert. Jede Wahrscheinlichkeitsverteilung, die weniger unbestimmt ist, unterstellt
mehr Eigenschaften des Systems als vorgegeben sind, und ist daher zu verwerfen.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode