Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.6. MATRIZEN IN MATLAB 349
Aufgabe 152 Bestimmen Sie die Transponierte, die Determinante und die Inverse der Matrix
⎛
A = ⎝ 2 4 −3
⎞
1 −2 5 ⎠ .
3 4 −1
Aufgabe 153 Welche Matrizen sind regulär, welche singulär:
⎛
A = ⎝ 1 0 2
⎞ ⎛
0 1 3 ⎠ , B = ⎝ 4 1 −3
⎞ ⎛
⎞
1 0 1 2
0 1 1 ⎠ ⎜ 0 1 1 −1 ⎟
, C = ⎝
⎠ .
3 0 1 4
−1 5 4
−8 1 9
2 0 1 3
Aufgabe 154 Können Sie zwei Vektoren ⃗a und ⃗ b angeben, deren dyadisches Produkt die
Matrix
⎛
A = ⎝ 3 2 1
⎞
6 4 2 ⎠
9 6 3
ergibt? Ist die Lösung eindeutig? Können Sie entsprechend die Vektoren ⃗a und ⃗ b für ein
gegebenes Kreuz- oder Skalarprodukt angeben?
Aufgabe 155 Zeigen Sie, dass für w = a + bi und z = c + di gilt
∣ w z ∣∣∣
∣ −z ∗ w ∗ = |w| 2 + |z| 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 .
Aufgabe 156 Zerlegen Sie die folgenden Matrizen in ihre Real- und Imaginärteile und
prüfen Sie, welche Matrizen hermitesch bzw. schief-hermitesch sind:
( ) ( )
−5i −6 + 3i
2 3 + 6i
A =
; B =
;
C =
⎛6 + 3i −i
⎝ −i 0 0
⎞
0 −i 0
0 0 −i
⎠ ; D =
Bestimmen Sie die Determinanten.
⎛ 3 − 6i 1
⎝ −4i 2 8
1 4i 1 − i
1 + i 8 3
Aufgabe 157 Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen:
⎛
( )
4 2i
A =
, B = ⎝ 3 1 0
⎞
( )
1 3 0 ⎠ 1 1
, C = .
−2i 1
4 1
0 0 1
Aufgabe 158 Diagonalisieren Sie:
A =
( )
0 1
, B =
1 0
( )
2 −2
.
1 4
⎞
⎠ .
Aufgabe 159 Bringen Sie die folgende Matrix auf Diagonalform:
⎛
A = ⎝ 1 4 1
⎞
2 1 2 ⎠ .
1 2 1
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007