Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

100 KAPITEL 3. FUNKTIONEN
Auflösen ergibt
sin(ϕ(x)) =
x
√
1 − x
2
und cos(ϕ(x)) =
1
√
1 + x
2 .
§ 401 In diesen Ausdrücken stört das Auftreten der Variablen ϕ auf der jeweils linken Seite.
Leiten wir beide Ausdrücke unter Berücksichtigung der Kettenregel nach x ab. Für den
Kosinus ergibt sich aus
d cos(ϕ(x))
dϕ
dϕ(x)
dx
= d
dx
( )
1
√
1 + x
2
und damit nach einsetzen und umformen
−x
d cos(ϕ(x)) (1+x)
=
3/2
dϕ
1
= − sin(ϕ(x)) ⇒
1+x 2
Der differenzierte Sinus ist entsprechend
d sin(ϕ(x)) dϕ(x)
dϕ dx
= d ( )
x
√
dx 1 + x
2
und damit nach umformen
d sin(ϕ(x))
dϕ
=
1
(1+x 2 ) 3/2
1
= cos(ϕ(x)) ⇒
1+x 2
d
cos(ϕ) = − sin(ϕ) .
dϕ
d
sin(ϕ) = cos(ϕ) .
dϕ
§ 402 Damit haben wir wichtige Eigenschaften von Sinus und Kosinus identifiziert:
• wegen sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 sind beide Funktionen beschränkt auf das Intervall [−1, 1].
• die n te Ableitung ist wieder der Sinus oder der Kosinus, abgesehen vom Vorzeichen.
• damit sind auch die Ableitungen auf das Intervall beschränkt.
Also muss es für beide Funktionen, wie bereits in Abschn. 2.4 betrachtet, eine Taylor Entwicklung
geben:
sin(ϕ + h) = sin ϕ + h cos ϕ − h2 h3 h4
sin ϕ − cos ϕ + sin ϕ + . . . und
2! 3! 4!
cos(ϕ + h) = cos ϕ − h sin ϕ − h2 h3 h4
cos ϕ + sin ϕ +
2! 3! 4! cos ϕ + . . . .
Die Definitionen implizieren ferner cos(0) = 1 und sin(0) = 0, so dass wir als Reihenentwicklung
erhalten
∞∑ (−1) n ϕ 2n+1
∞∑ (−1) n ϕ 2n
sin ϕ =
und cos ϕ =
,
(2n + 1)!
(2n)!
n=0
wie bereits aus (2.10) und (2.9) bekannt.
3.5 MatLab: Darstellung von Funktionen I
§ 403 Zur Darstellung einer Funktion in MatLab sind drei Schritte erforderlich:
1. Erzeugung des Definitionsbereiches,
2. Bestimmung der zugehörigen Funktionswerte,
3. Darstellung.
n=0
Eine einfache Codierung in MatLab umfasst drei Befehle:
>> x=[0:pi/100:2*pi]; y = sin(x); plot(x,y) ←↪
und liefert als Ergebnis Abb. 3.13; sicherlich ästhetisch noch kein Genuss und auf Grund
fehlender Achsenbeschriftung nicht sehr aussagekräftig, aber ein schnelles Verfahren, um
einen Überblick über den Funktionsverlauf zu erhalten. Die Befehlssequenz spiegelt die oben
erwähnten drei Schritte wieder:
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode