Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

56 KAPITEL 2. FOLGEN UND REIHEN
Konvergenz
§ 228 Hat eine Folge einen Grenzwert, so wird sie als konvergent bezeichnet. Da Konvergenz
über den Grenzwert definiert ist, ergibt sich mit Def. 18
Definition 19 Eine Folge (a n ) heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert A hat, d.h. wenn
es ein ε > 0 gibt derart, dass für alle n > n ε gilt |a n − A| < ε.
Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt divergent.
§ 229 Die Definition hat den Nachteil, dass sie den Grenzwert A explizit enthält. Ist dieser
nicht bekannt (oder nicht bestimmbar), so lässt sich eine Folge an Hand dieser Definition
nicht auf Konvergenz überprüfen. In der Physik interessiert oftmals aber nicht der Grenzwert
selbst sondern nur die Tatsache, dass dieser existiert. In letzterem Fall nähert sich die Folge
einem Wert an. Existiert der Grenzwert nicht, so hat die Folge etwas unberechenbares an
sich, insbesondere kann sie ins Unendliche entweichen.
§ 230 Sind die Eigenschaften Beschränktheit und Monotonie der Folge bereits überprüft, so
ist der folgende Satz hilfreich:
Satz 4 Jede nach oben beschränkte monoton steigende Folge ist konvergent. Entsprechend
ist jede nach unten beschränkte monoton fallende Folge konvergent.
§ 231 Das Cauchy Kriterium, auch als allgemeines Konvergenzprinzip bezeichnet, liefert eine
formalere Bedingung für Konvergenz:
Satz 5 Eine Folge (a n ) ist konvergent genau dann, wenn es ein zu jedem ε > 0 ein n ε ∈ N
gibt, so dass für alle n, m > n ε gilt |a n − a m | < ε.
Dieses Kriterium erinnert an die Definition von Konvergenz und Grenzwert (Def. 19), hat
jedoch den Vorteil, dass der Grenzwert nicht explizit auftritt sondern nur die Differenz aus
Folgegliedern immer kleiner werden muss. Wir vergleichen also nicht mit dem absoluten Wert
‘Grenzwert’ sondern betrachten das relative Verhalten von Folgegliedern.
2.3 Reihen
§ 232 Aus den Gliedern einer Folge lassen sich Partial- oder Teilsummen bilden, indem man
Glied für Glied aufsummiert. Diese Summen können zu einer neuen Folge zusammen gefasst
werden, der Partialsummenfolge oder Reihe.
Definition 20 Die Folge der Partialsummen (s n ) einer unendlichen Zahlenfolge heißt unendliche
Reihe; die einzelnen Glieder der Folge sind:
n∑
s n = a m = a 1 + a 2 + ... + a n .
m=1
§ 233 Die Euler Zahl, in § 227 als Grenzwert einer Folge eingeführt, lässt sich auch als Reihe
darstellen:
∞∑ 1
∞
e = 1 +
n! = ∑ 1
(2.3)
n!
n=1
n=0
mit n-Fakultät n! = 1 · 2 · 3 · ... · n. Für große Werte von n kann die Stirling Näherungsformel
(9.13) oder (9.14) verwendet werden.
Querverbindung 2 Eine Reihe ist einer Folge ähnlich: in beiden Fällen handelt es sich um
eine endliche oder unendliche Sequenz von Zahlen. Die Glieder beider Sequenzen können
explizit angegeben werden, z.B.
n∑
a n = n und s n = k
k=1
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode