Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.6. MATRIZEN IN MATLAB 347
>> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]; A∧2 ←↪
ans =
30 36 42
66 81 96
102 126 150
Diese Operation ist nur mit ganzzahligen Exponenten möglich! Vom echten Potenzieren einer
Matrix zu unterscheiden ist die punktweise Operation des Potenzierens:
>> A.∧2 ←↪
ans =
1 4 9
16 25 36
49 64 81
Diese unterliegt nicht den Regeln der Matrixmultiplikationen, so dass beliebige reelle Exponenten
verwendet werden können.
§ 1305 Die inverse Matrix lässt sich mit Hilfe des Befehls inv bestimmen. Diesen Befehl inv
werden Sie allerdings nur dann benötigen, wenn Sie die inverse Matrix explizit bestimmen
sollen wie z.B. in § 1199:
>> A = [1, 2; 2, 1]; inv(A) ←↪
ans =
-0.3333 0.6667
0.6667 -0.3333
§ 1306 Zur Lösung eines Gleichungssystems A⃗x = ⃗c drängt sich natürlich die Idee auf, ebenfalls
die inverse Matrix zu verwenden: x = inv(A)*c. MatLab kennt hierfür jedoch einen
schnelleren und genaueren Algorithmus, die Matrix Division x = A\ c. Das Beispiel aus Abschn.
8.4.1 lässt sich damit schreiben als
>> A=[2,4,-3;1,-2,5;3,4,-1];c=[15;-20;8];A\c ←↪
ans =
-1.0000
2.0000
-3.0000
Dieser Befehl wird unter dem Stichwort Matrix Left Divide oder kurz mldivide in der
MatLab-Hilfe genauer beschrieben; als Merkregel gilt A\B ist ungefähr inv(A) * B – also
genau die Befehlsfolge, die wir bei der Lösung des Gleichungssystems benötigen.
§ 1307 Eigenwerte und -vektoren werden in MatLab mit eig bestimmt. In der Variante d eig
= eig(A) gibt MatLab als Ergebnis einen Vektor d, dessen Komponenten die Eigenwerte
von A sind. Oder angewandt auf das Beispiel in § 1219:
>> A=[1,2;2,1];d=eig(A) ←↪
d =
-1
3
mldivide
In der Form [V,D] = eig(A) gibt MatLab zwei Matrizen V und D zurück. Matrix D ist
eine Diagonalmatrix, die auf der Hauptdiagonalen die Eigenwerte enthält. Die Spalten von
Matrix V geben die Eigenvektoren. Angewandt auf das Beispiel in § 1219 erhalten wir
>> A=[1,2;2,1];[V,D]=eig(A) ←↪
V =
-0.7071 0.7071
D =
0.7071 0.7071
-1 0
0 3
d.h. die Eigenwerte sind λ 1 = −1 und λ 2 = 3 mit den zugehörigen Eigenvektoren ⃗e λ1 =
(−1/ √ 2, 1/ √ 2) und ⃗e λ2 = (1/ √ 2, 1/ √ 2).
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007