Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

264 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
grün und blau. Daher werden Farben häufig im RGB-Format angegeben: die drei Zahlen
für RGB geben die Helligkeitswerte der entsprechenden Farben an und sind so in der Lage,
die vollständige Farbpalette zu produzieren. Entsprechend werden bei einem Digitalbild für
jeden Pixel des Photos die entsprechenden Helligkeitswerte übergeben. Gehen wir von einer
modernen 10 Mega-Pixel Kamera aus (Mittelwertfomatkameras wurden uns sogar mit 39 MegaPixeln
konfrontieren). Zu jedem Pixel müssen drei Helligkeitswerte übertragen werden –
bei einer Tiefe von 256 Helligkeitswertenpro Schicht 6 entspricht das 8 Bit oder einem Byte
pro Schicht. Oder insgesamt 3 Byte pro Bixel oder 30 MB pro Bild (bzw. lächerliche 120 MB
bei einer Mittelfeormatkamera).
§ 998 Meine etwas ältere 5 Megapixel Kamera wurde serienmäßig mit einer 16 MB Speicherkarte
ausgeliefert – das war damals sehr viel, würde aber nur zum Abspeichern eines einzigen
Bildes in einem entsprechenden Bitmap oder genauer im RAW-Format reichen. Zu der Zeit
diskutierte man allerdings noch nicht über RAW sondern machte das, was man heute auch
noch tut: die Daten komprimieren.
§ 999 JPEG (Joint Photographic Experts Group) ist ein weit verbreiteter Standard der Bildkomprimierung
– allerdings ist JPEG ein Verlust behaftetes Verfahren zur Datenkompression
ist. Zumindest bei älteren Programmen zur Bildverarbeitung und Kameras werden Sie im
Zusammenhang mit JPEG stets auch nach der Qualität der Abbildung gefragt: wählen Sie
eine geringe Qualität, so wird die Datei klein, bei hoher Qualität ergibt sich eine relativ
große, aber immer noch komprimierte Datei. Die Datenreduktion erfolgt dabei nicht so, dass
einfache Pixel nach einem bestimmten Muster ausgelassen werden oder z.B. immer über 2×2-
Quadrate gemittelt wird. In letzterem Fall hätte man gleich einen Sensor mit entsprechen
weniger Pixeln verwenden können.
§ 1000 JPEG ist ein Transformations-Codierungsverfahren, d.h. zuerst wird das Bild transformiert,
anschließend wird die Transformation codiert. Die Decodierung erfolgt entsprechend:
die eigentliche Decodierung liefert die Transformation des Bildes, dieses wird anschließend
rücktransformiert.
§ 1001 Als Transformation wird bei JPEG eine diskrete Kosinustransformation, d.h. eine
Fourier Transformation mit Beschränkung auf die Kosinus Terme, auf ein N ×N-Pixel großes
Bild mit den Helligkeitswerten x angewandt:
X(0, 0) = 1 N
X(u, v) = 2 N
N∑
i=0 j=0
N∑
i=0 j=0
N∑
x(i, j)
N∑
( ) ( )
2(i + 1)uπ 2(j + 1)vπ
x(i, j) cos
cos
2N
2N
Darin wird X(0, 0) als Gleichstromanteil bezeichnet, entsprechend einem mittleren Helligkeitsniveau
des Bildes. Die Terme X(u, v) mit u, v ≠ 0 werden als Wechselstromanteil bezeichnet.
Sie beschreiben für jeden Punkt des Bildes die Abweichungen vom Mittelwert und
beinhalten damit die Information über die Details des Bildes.
§ 1002 Ein reales Bild wird zuerst in 8 × 8 Pixel große Untermatrizen zerlegt. 7 Auf diese
Untermatrix wird die Kosinustransformation angewandt, so dass sich für jede Untermatrix
64 Koeffizienten X(0, 0) bis X(7, 7) ergeben. Da JPEG komprimieren soll, wird nur den
niederfrequenten Anteilen der Transformation eine Bedeutung beigemessen. Bis zu welcher
6 256 Helligkeitswerte pro Schicht erscheinen nicht einmal viel. Damit lassen sich allerdings insgesamt
256 3 = 16 777 216 Farbtöne erzeugen – stellen Sie sich vor, sie würden fast 17 Mio kleine Kärtchen mit diesen
unterschiedlichen Farben erhalten und sollten Sie in irgendeiner Form ordnen. Wahrscheinlich wären Sie
selbst bei direktem nebeneinander legen verschiedener Karten nicht in der Lage, die entsprechenden Farben
überhaupt auseinander zu halten. Daher sind 8 bit Farbtiefe pro Schicht bzw. 24 bit insgesamt für normale
photographische Ansprüche ausreichend.
7 Ist die Kantenlänge kein Vielfaches von 8, so wird zum Auffüllen der fehlenden Zeilen bzw. Spalten die
jeweils letzte Zeile oder Spalte wiederholt.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode