Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

C.3. ELEMENTARES INTEGRIEREN 531
ähnlich Produkt- und Kettenregel beim Differenzieren, einige Grundregeln des Integrierens.
Dazugehören insbesondere die Substitution und die partielle Integration.
Integrale elementarer Funktionen
§ 1887 Die elementaren Funktionen sind im wesentlichen die, die wir auch bei der Differentiation
betrachtet haben:
• eine Potenzfunktion wird integriert, in dem ihr Exponent um Eins erhöht wird und die
Potenz durch den neuen Exponenten geteilt wird:
∫
x n dx = 1
n + 1 xn+1 + C n ≠ −1 .
Wir können uns die Regel dadurch veranschaulichen, dass wir die rechte Seite ableiten:
dann wird der Exponent um Eins erniedrigt (also wieder der ursprüngliche Exponent) und
der Ausdruck wird mit dem Exponenten multipliziert. Dieser Faktor kürzt sich genau gegen
den, den die Integration herein gebracht hat.
Der Spezialfall einer Potenz ist die Konstante c. Diese können wir schreiben als Potenz
cx 0 . Anwenden der Integrationsregeln liefert dann
∫ ∫
c dx = cx 0 dx = 1 1 cx1 + C = cx + C .
• für n = −1, also die Funktion f(x) = x −1 funktioniert dieses Verfahren nicht: erhöhen wir
den Exponenten um Eins, so erhalten wir eine Null. Das wäre noch in Ordnung, jedoch
können wir den zweiten Schritt der Integration nicht ausführen, da wir nicht durch Null
teilen dürfen. Das Integral dieser speziellen Potenz ist der natürliche Logarithmus:
∫ 1
dx = ln |x| + C .
x
|x| besagt hier, dass wir den Betrag von x nehmen müssen, da der Logarithmus nur für
reelle Zahlen größer Null definiert ist.
• die Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus ist die Exponentialfunktion e x . Aus der
Differentiation wissen wir bereits, dass die Ableitung der Exponentialfunktion die Exponentialfunktion
ist. Entsprechend ist auch das Integral der Exponentialfunktion die Exponentialfunktion:
∫
e x dx = e x + C .
• die Integrale der Winkelfunktionen Sinus und Kosinus können wir uns selbst überlegen, in
dem wir die Ableitungsregeln ‘in Gegenrichtung’ verwenden:
∫
∫
sin(x) dx = − cos(x) + C und cos(x) dx = sin(x) + C .
Integrationsregeln
§ 1888 Wie beim Differenzieren reichen die Regeln für wenige Grundfunktionen bereits aus,
um die meisten Integrale zu lösen. Allerdings brauchen wir auch bei der Integration wieder
einen Satz von regeln, der uns hilft, auch kompliziertere Funktionen zu integrieren. Die
meisten der hier genannten Regeln haben ein Äquivalent in der Differentiation.
• die Faktorregel: wird eine Funktion f(x) mit einem konstanten Faktor c multipliziert, so
können wir bei Integration über diesen Ausdruck die Konstante vor das Integral ziehen:
∫
∫
c f(x) dx = c f(x)dx .
Die Regel werden Sie bereits intuitiv angewendet haben und auch weiter anwenden:
∫
∫
6 x 2 dx = 6 x 2 dx = 6 x3
3 + C = 2x3 + C .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007