Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

42 KAPITEL 1. VEKTOREN
1.7.3 Andere Koordinatensysteme
§ 192 MatLab stellt für die Umwandlung von Vektoren von einem in ein anderes Koordinatensystem
die folgenden Routinen zur Verfügung:
cart2pol [THETA,RHO,Z] = cart2pol(X,Y,Z) kartesisch in Polar oder Zylinder
cart2sph [THETA,PHI,R] = cart2sph(X,Y,Z) kartesisch in Kugel
pol2cart [X,Y,Z] = pol2cart(THETA,RHO,Z) Polar bzw. Zylinder in kartesisch
sph2cart [X,Y,Z] = sph2cart(THETA,PHI,R) Kugel in kartesisch
MatLab unterscheidet nicht zwischen Polar- und Zylinderkoordinaten: werden drei Komponenten
übergeben, so interpretiert MatLab dies als Zylinderkoordinaten; bei zwei Komponenten
sind es Polarkoordinaten.
cart2sph
§ 193 Formal werden alle vier Routinen gleich verwendet: der Vektor ist in drei Komponenten
gegeben, der Output der Routine ist wieder ein System aus drei Zahlen. Die Umwandlung
von kartesischen in Kugelkoordinaten lässt sich wie folgt erreichen:
>> x=2;y=3;z=4; [Theta,Phi,R] = cart2sph(x,y,z) ←↪
THETA =
0.9828
PHI =
0.8372
R =
5.3852
Bei den von MatLab zurück gegebenen Winkeln ist etwas Vorsicht geboten: THETA wird von
der positiven x-Achse aus gemessen (entspricht dem in Abb. 1.8 als ϕ bezeichneten Winkel),
PHI wird von der xy-Ebene gemessen, entsprechend einer geographischen Breite. Zwischen
PHI und ϑ in Abb. 1.8 besteht daher der Zusammenhang ϑ = π/2 − PHI. Bevor Sie eine der
Umwandlungsroutinen verwenden, sollten Sie sich in den MatLab-Hilfe vergewissern, welche
Größen wie definiert sind.
1.7.4 Vektorprodukte
§ 194 Stellt man die Produkte über dot bzw. cross dar, so gilt das bei der Addition gesagte:
es ist egal, ob die Vektoren Zeilen- oder Spaltenvektoren sind, es müssen nur alle Multiplikanden
die gleiche Form haben bzw. durch Transposition auf gleiche Form gebracht werden.
Bei der Verwendung des Multiplikationszeichens * dagegen führt MatLab eine Matrixmultiplikation
durch mit den zugehörigen Einschränkungen (vgl. Abschn. 8.2.3).
dot
.*
sum
norm
§ 195 Das Skalarprodukt wird durch den Befehl dot ausgeführt:
>> a=[3;-2;1]; b=[-2;3;1]; ←↪
>> c = dot(a,b) ←↪
c =
-11
Intern bildet MatLab das Skalarprodukt durch punktweise Multiplikation und anschließende
Summation über die Produkte, entsprechend ⃗a ·⃗b = ∑ a i b i :
>> a=[3;-2;1]; b=[-2;3;1]; ←↪
>> c = sum(a.*b) ←↪
c =
-11
Für den Betrag eines Vektors kennt MatLab den Befehl norm, entsprechend der Sequenz
norm(a) = sqrt(dot(a,a)).
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode