Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

210 KAPITEL 6. KOMPLEXE ZAHLEN
Die beiden Verknüpfungen Addition und Multiplikation sind durch das Distributivgesetz
verknüpft:
(a + b)c = ac + bc .
§ 814 Addition und Multiplikation unterscheiden sich im Hinblick auf das neutrale Element:
während es bei der Multiplikation ein neutrales Element gibt, fehlt dieses beider Addition.
Dieses lässt sich einführen, in dem man N erweitert zu N 0 = N ∪ {0}. Die oben gegebenen, N
definierenden Axiome müssen dann derart angepasst werden, dass nicht mehr die 1 sondern
die 0 das kleinste Element sind.
6.4.2 Inverses Element und abelsche Gruppe
§ 815 Beide Verknüpfungen sind unbefriedigend, da es für sie keine Umkehrung in N gibt.
Die Umkehrung der Addition erfordert die Einführung eines negativen Elements und damit
den Übergang zur Menge Z der ganzen Zahlen. Diese können wir schreiben als
Z = N ∪ {0} ∪ {−a| a ∈ N} .
In dieser Menge gibt es für jedes a ein negatives Element −a mit der Eigenschaft
a + (−a) = 0 .
Mit diesem inversen Element und den oben gegebenen Rechenregeln können wir den Begriff
der Gruppe einführen.
§ 816 Unter einer Gruppe bezeichnet man eine Menge von Objekten (z.B. die ganzen Zahlen
Z) mit den folgenden Eigenschaften:
1. sie ist abgeschlossen bezüglich einer inneren Verknüpfung (z.B. der Addition),
2. es gilt ein Assoziativgesetz,
3. es existiert genau ein neutrales Element, und
4. zu jedem Element existiert genau eine Umkehrung.
Gilt außerdem das Kommutativgesetz, so handelt es sich um eine abelsche Gruppe. Die
ganzen Zahlen bilden bezüglich der Addition nicht nur eine Gruppe sondern gar eine abelsche
Gruppe.
§ 817 Auch in den Gruppen, in denen das Kommutativgesetz nicht gilt (z.B. Matrizen
bezüglich der Multiplikation), sind einige spezielle Elemente kommutativ. So ist auch in
einer nicht-abelschen Gruppe die Verknüpfunkt eines beliebigen Elements der Gruppe mit
dem Einheitselement kommutativ. Ebenso ist die Verknüpfung eines Elements mit seinem
Inversen kommutativ.
§ 818 Haben wir einmal festgestellt, dass eine Menge von mathematischen Objekten, seien
es rationale Zahlen, komplexe Zahlen oder gar Matrizen, eine Gruppe bezüglich einer bestimmten
mathematischen Operation bilden, so brauchen wir nur einmal zu zeigen, dass eine
bestimmte Relation gilt – dies können wir allgemein zeigen, ohne dabei speziell auf Matrizen
oder komplexe Zahlen eingehen zu müssen, da wir nur die allgemeinen, in der Definition einer
Gruppe enthaltenen Rechenregeln benötigen.
§ 819 Ein häufig als Illustration verwendetes Beispiel ist die ‘Cancellation Property’: seien
a, b und c Elemente einer Gruppe. Gilt ac = bc, so folgt daraus a = b. Entsprechend folgt aus
der Gültigkeit von ca = cb ebenfalls a = b. Zum Beweis multiplizieren wir mit dem Inversen
von c (das muss in einer Gruppe gemäß #4 existieren):
(ac)c −1 = (bc)c −1 .
Da nach #2 das Assoziativgesetz gilt, ist
a(cc −1 ) = b(cc −1 )
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode