Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

5.4. INTEGRATION VEKTORWERTIGER FUNKTIONEN 181
§ 702 Als letztes Anwendungsbeispiel bestimmen wir den Schwerpunkt ⃗r s eines ausgedehnten
homogenen Körpers. Dieser ist gegeben als
⃗r s = 1 ∫
⃗r dV . (5.7)
V
V
Als Beispiel betrachten wir eine homogene Halbkugel mit Radius r. Wir legen die Kugel in
ein kartesisches Koordinatensystem, die Schnittfläche liegt auf der xy-Ebene. Aus Symmetriegründen
sollte der Schwerpunkt auf einer Achse durch den Mittelpunkt dieses Kreises
liegen, d.h. auf der z-Achse. Damit können wir die Integration über einen Vektor umgehen
und erhalten für die Koordinaten des Schwerpunktes x s = 0, y s = 0 sowie
z s = 1 V
∫
V
z dV = 1 V
∫ r
∫π/2
∫2π
r=0 ϑ=0 ϕ=0
r 3 cos ϑ sin ϑ dr dϑ dϕ = 3 8 R .
Dabei wurde verwendet, dass bei einer Halbkugel ϑ nur von 0 bis π/2 läuft, sowie z = r cos ϑ.
Zwischenrechnung 25 Bestimmen Sie ∫ cos x sin x dx. Ist das Ergebnis eindeutig?
5.4 Integration vektorwertiger Funktionen
§ 703 Wir haben die Integration anschaulich als Summation im Grenzübergang auf unendlich
kleine Stückchen betrachtet. In jedem Summanden steckt ein Produkt aus der Funktion
f(t) und einen infinitesimal kleinen Stücken dt entlang der unabhängigen Variablen.
§ 704 Auch bei einer vektorwertigen Funktion ⃗ f(x, y, z, t) = ⃗ f(⃗r, t) wird das Integral als
unendliche Summe derartiger Produkte interpretiert. Jedoch haben wir bei Vektoren drei
Möglichkeiten der Produktbildung: (a) das Produkt aus einem Vektor und einer Zahl, (b)
das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren mit einem Skalar als Ergebnis und (c) das Vektorprodukt
aus zwei Vektoren mit einem Vektor als Ergebnis. Da der zweite Faktor im Produkt
jeweils die unabhängige(n) Variable(n) beschreibt, können wir uns die Bedeutung dieser drei
Variationen der Integration vektorwertiger Funktionen einfach veranschaulichen.
§ 705 Enthalten die einzelnen Summanden ein Produkt aus einer vektorwertigen Funktion
und einem Skalar, so gibt es nur eine unabhängige skalare Variable. Nennen wir diese t,
so können wir die Funktion schreiben als ⃗ f(t). Diese Art der Integration können wir z.B.
verwenden, um aus der vorgegebenen Geschwindigkeit ⃗v(t) eines Körpers seinen Ort ⃗r(t) zu
bestimmen. Diese Form der Integration wird als Riemann Integral bezeichnet.
§ 706 In den beiden anderen Fällen ist der zweite Faktor in den Summanden jeweils ein
Vektor. Da dieser zweite Faktor die unabhängigen variablen beschreibt, muss es sich bei der
zu integrierenden Funktionen um einen von den Raumkoordinaten abhängende Funktion ⃗ f(⃗r
handeln, also um ein Feld. Da das Skalarprodukt eine Projektion ermöglicht, betrachten wir
bei einem Integral der Form ∫ ⃗ f(⃗r)·d⃗r jeweils die Komponente des Feldes entlang eines Weges.
Diese Form des Integral heißt Linienintegral; wir sind einem Beispiel bei der Einführung der
Arbeit bereits in § 122 begegnet in der Form W = ∫ ⃗ F · d⃗s mit W als der Arbeit, ⃗ F als der
Kraft und ⃗s als dem zurück gelegten Weg. Enthält das Integral dagegen ein Kreuzprodukt,
d.h. hat es die Form ∫ ⃗ f × d⃗n, so wird damit der Fluss des Feldes ⃗ f durch eine durch den
Normalenvektor ⃗n beschriebene Oberfläche bestimmt. Linien- wie Oberflächenintegrale sind
Themen der Vektoranalysis in Kap. 10.
5.4.1 Riemann Integral
§ 707 Betrachten wir eine vektorwertige Funktion ⃗ f = ⃗ f(t) in Abhängigkeit von einer skalaren
Variablen t. Das Riemann Integral lässt sich sich als unbestimmtes Integral schreiben
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007