Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

9.6. VERALLGEMEINERTE FUNKTIONEN IN MATLAB 367
12. Plattenkondensator: homogen geladene Platte mit Kantenlängen a und Ladung Q.
Aufgabe 178 Bestimmen Sie die δ-Funktion δ(h(x)) für die folgenden Funktionen h(x):
h 1 (x) = 5x − 10 , h 2 (x) = x 2 + 4x − 5 ,
h 3 (x) = x 3 + 2x 2 − x − 2 , h 4 (x) = cos x ,
h 5 (x) = ln x .
Aufgabe 179 Bestimmen Sie folgenden Integrale bei Anwendung der δ-Funktion auf die
Exponentialfunktion:
∞∫
1∫
a = e t δ(t) dt , b = e t δ(t) dt ,
c =
e =
−∞
1∫
−1
2.8
∫
−∞
e t δ(t − e) dt , d =
e t δ(t − e) dt .
−1
2.7
∫
−∞
e t δ(t − e) dt ,
Aufgabe 180 Bestimmen Sie die folgenden Integrale bei Anwendung der δ-Funktion auf
eine Winkelfunktion
∞∫
−10 ∫
a = sin(ωt)δ(t) dt , b = sin(ωt)δ(t) dt ,
c =
e =
g =
−∞
∞∫
−∞
−15
∫
−∞
−15
∫
−∞
sin(ωt)δ(t + 15) dt , d =
sin(ωt)δ(t + 15) dt , f =
cos(ωt)δ(t + 15) dt , h =
−20
−10
∫
−20
−10
∫
−25
−10
∫
−25
sin(ωt)δ(t + 15) dt ,
sin(ωt)δ(t + 15) dt ,
cos(ωt)δ(t + 15) dt .
Aufgabe 181 Vereinfachen Sie den Ausdruck δ(x 2 − x 2 0).
Aufgabe 182 Ein entlang der x-Achse bewegliches Teilchen erhält zur Zeit t 0 einen Stoß
aδ(t−t 0 ). Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und bestimmen Sie x(t). Welche Bedeutung
hat a? Können Sie die Darstellung auf einen Stoß der Dauer T erweitern?
Aufgabe 183 Zeigen Sie, dass
∫ ∞ ( 1
e −x4 dx = ! .
4)
0
Aufgabe 184 Die Maxwell-Verteilung gibt die relative Teilchenzahl im Geschwindigkeitsintervall
von v bis v + dv als
dN
( m
) )
3/2
N = 4π exp
(− mv2 v 2 dv .
2πkT
2kT
∫
Der Erwartungs- oder Mittelwert der Geschwindigkeit ist definiert als v = 1 N vdn. Zeigen
Sie, dass gilt
v =
( 2kT
m
) n/2 ( n+1
)
2 !
( 1
.
2)
!
Fehler in Verteilungsfunktion (Dimension)
Literatur
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007