Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

1.5. ANWENDUNGEN FÜR PRODUKTE VON VEKTOREN 23
Abbildung 1.13: Projektion eines
Vektors ⃗a auf eine durch den
Normaleneinheitsvektor ⃗e n definierte
Ebene
gegen den Uhrzeigersinn gedrehtes Koordinatensystem. Dieses System ist durch die Einheitsvektoren
⃗e ′ x = (1, 1)/ √ 2 und ⃗e ′ y = (−1, 1)/ √ 2 gegeben. Die Komponenten r x ′ und r y ′ von ⃗r
im gedrehten Koordinatensystem ergeben sich durch Projektion auf die neuen Einheitsvektoren:
r ′ x =
( ) ( )
5 1 1
· √2 = 5 √ ( )
2 und r y ′ 5
= ·
5 1
5
( )
−1 1
√2 = 0 .
1
Im gedrehten Koordinatensystem weist der Vektor also entlang der x ′ -Achse – da diese der
Winkelhalbierenden des Ausgangssystems entspricht, ist das ein plausibles Ergebnis.
Projektion eines Vektors auf eine Ebene
§ 119 Aus der Projektion eines Vektors auf einen anderen lässt sich auch die Projektion
eines Vektors auf eine Ebene bestimmten. Dazu betrachten wir eine Ebene, die über einen
Normaleneinheitsvektor ⃗e n definiert ist, siehe Abb. 1.13, sowie einen Vektor ⃗a der auf die
Ebene projiziert werden soll. Die Projektion von ⃗a auf ⃗e n ist, wie in § 115 diskutiert und in
Abb. 1.12 dargestellt,
⃗a ⃗en
= ⃗e n · ⃗a
|⃗e n | 2 ⃗e n = (⃗e n · ⃗a) ⃗e n .
Der Ausgangsvektor ⃗a lässt sich als Summe aus seiner Projektion ⃗a p auf die Ebene und seiner
Projektion ⃗a ⃗en auf den Normaleneinheitsvektor darstellen:
⃗a p + ⃗a ⃗en = ⃗a ⇒ ⃗a p = ⃗a − (⃗e n · ⃗a) ⃗e n .
Volumen eines Spats
§ 120 Das Spatprodukt (1.8) kombiniert zwei dieser geometrischen Aspekte und erlaubt damit
die Bestimmung des Volumens des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds.
Dessen Volumen ist das Produkt aus der Grundfläche und der Höhe. Die Grundfläche ist ein
Parallelogramm, dessen Flächeninhalt durch den Betrag des Kreuzprodukts |⃗a × ⃗ b| in (1.8)
gegeben ist. Das Skalarprodukt aus dem auf der Fläche senkrecht stehenden Vektor ⃗a × ⃗ b
und der dritten Seite ⃗c des Parallelepipeds gibt die Projektion von ⃗c auf einen Vektor senkrecht
zur Grundfläche und damit die Höhe des Spats, allerdings immer noch multipliziert mit
dem Betrag des Vektors, auf den projiziert wird. Da das aber gerade die Grundfläche des
Parallelepipeds ist, gibt das Spatprodukt genau das gesuchte Volumen.
1.5.2 Physikalische Anwendungen
§ 121 Viele physikalische Größen sind Vektoren. Dazu zählen relativ anschauliche mechanische
Größen wie Kraft, Ort, Geschwindigkeit und Impuls, aber auch elektrisches und magnetisches
Feld. Auf Grund der weiten Verbreitung von Vektoren in der Physik könnte dieser
Abschnitt bei einer einigermaßen breiten Darstellung selbst zu einem Physikbuch mutieren.
Daher beschränke ich mich auf drei Beispiele, die Ihnen in der Anfängervorlesung recht früh
begegnen werden.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007