Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

10.2. DIFFERENTIATION: DIVERGENZ UND ROTATION 375
Verständnisfrage 25 In der Herleitung wird angenommen, dass die Flüssigkeit links in das
Volumen hinein und rechts hinaus strömt, wie in Abb. 10.4 angedeutet. Was passiert, wenn
die Flüssigkeit in Gegenrichtung strömt?
§ 1403 Stellen wir das Geschwindigkeitsfeld durch Stromlinien dar, so divergieren (entspringen)
diese in einer Quelle und sie konvergieren (verschwinden) in einer Senke. Diese Vorstellung
findet sich auch in den Feldlinien des elektrischen Feldes, die in einer positiven Ladung
entspringen und in einer negativen verschwinden.
Divergenz in krummlinigen Koordinaten
§ 1404 In Definition 85 haben wir die Divergenz als das Skalarprodukt aus dem Nabla Operator
und dem Vektorfeld definiert. Diese Definition lässt sich auch auf krummlinige Koordinaten
erweitern. In Kugelkoordinaten wird die Divergenz zu
div ⃗ A = ∇ · ⃗A = 1 r 2 ∂(r 2 A r )
∂r
In Zylinderkoordinaten gilt für die Divergenz
+ 1 ∂(sin ϑA ϑ )
+ 1 ∂A ϕ
r sin ϑ ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ . (10.3)
divA ⃗ = ∇ · ⃗A = 1 ∂(ρA ρ )
+ 1 A ϕ
ρ ∂ρ ρ ∂ϕ + ∂A z
∂z . (10.4)
§ 1405 Wie beim Gradienten lassen sich diese Audrücke unter Berücksichtigung der Kettenregel
und Verwendung der Jacobi Determinante (4.22) aus der Definition der Divergenz in
kartesischen Koordinaten herleiten.
Zwischenrechnung 56 Führen Sie die Herleitung für einen der beiden Ausdrücke durch.
Typische Felder
§ 1406 In einem konstanten Feld ⃗ A(⃗r) = ⃗a = (a x , a y , a z ) = const sind die einzelnen Komponenten
des Vektorfeldes konstant und ihre räumlichen Ableitungen verschwinden. Damit
verschwindet auch die Divergenz. Dies ist auch anschaulich: ist das Feld, wie z.B. das elektrische
Feld innerhalb eines Plattenkondensators, konstant, so hat es dort keine Quellen oder
Senken. Zwar sind die Platten Quellen bzw. Senken, jedoch ist die Divergenz eine lokale
Größe und in keinem Punkt innerhalb des Plattenkondensators befinden sich Ladungen und
damit Quellen oder Senken des Feldes. Oder anders formuliert: packen wir ein kleines Volumenelement
in dieses Feld, so ist der Fluss des elektrischen Feldes in dieses Volumenelement
hinein genauso groß wie der Fluss des Feldes aus ihm heraus. Oder in der anschaulichen Formulierung
mit Hilfe der Feldlinien: die Feldlinien konvergieren in den Senken und divergieren
in den Quellen – in einem konstanten Feld konvergieren oder divergieren die Feldlinien aber
nicht.
§ 1407 In einem radialsymmetrischen Feld ⃗ A(⃗r) = ⃗r = (x, y, z) nimmt die Feldstärke mit
zunehmendem Abstand zu. Dann ist die Divergenz in kartesischen Koordinaten
∇ · ⃗r = ∂x/∂x + ∂y/∂y + ∂z/∂z = 3 .
In Kugelkoordinaten verschwinden die Ableitungen nach ϑ und ϕ, da das Feld nur von r
abhängt. Damit ergibt sich ebenfalls
∇ · ⃗r = 1 ∂(r 2 r)
r 2 = 3r2
∂r r 2 = 3 ,
d.h. die Quellstärke ist überall konstant.
Verständnisfrage 26 Gilt das auch für das elektrische Feld einer Punktladung oder das
Gravitationsfeld? Skizzieren Sie die Feldlinien für obiges radialsymmetrische Feld im Vergleich
zum Feld der Punktladung, um sich Unterschiede und Gemeinsamkeiten zu veranschaulichen.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007