Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

240 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Ableiten ergibt ẋ p = a und damit nach Einsetzen in die DGL a = 4t−at−b. Hier müssen die
Glieder mit t jeweils die gleichen Vorfaktoren haben, da die Gleichung sonst nicht für beliebige
t erfüllt sein kann, d.h. wir erhalten durch Koeffizientenvergleich a = 4. Einsetzen liefert dann
b = −4 und damit für die spezielle Lösung x p = 4t − 4. Die Lösung der inhomogenen DGL
ergibt sich als die Summe aus der Lösung der homogenen DGL und der speziellen Lösung
der inhomogenen DGL zu
x = c e −t + 4t − 4 ,
die Integrationskonstante c wird aus den Anfangsbedingungen bestimmt.
Zwischenrechnung 30 Verifizieren Sie, dass dieser Ausdruck die inhomogene DGL löst.
Zwischenrechnung 31 Bestimmen Sie die Lösungen der DGLs in §919 und 922 mit Hilfe
des jeweils anderen Verfahrens.
7.4 Differentialgleichungen 2. Ordnung
§ 923 Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Erweiterung der DGL erster Ordnung
in dem Sinne, dass sie zusätzlich die zweite Ableitung der gesuchten Funktion enthält.
Die allgemeinste Form ist die inhomogene DGL
ẍ(t) + a(t) ẋ(t) + b(t) x(t) + g(t) = 0 .
Bei der homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung verschwindet die Inhomogenität
g(t); sie hat die Form
ẍ(t) + a(t) ẋ(t) + b(t) x(t) = 0 .
Ein Spezialfall ist die lineare DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
Definition 64 Eine Differentialgleichung vom Typ
ẍ + aẋ + bx = g(t)
heißt lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Für diesen Spezialfall gibt es Standard-Lösungsverfahren; wir werden den Exponentialansatz
betrachten, auf ein Lösungsverfahren mit Hilfe einer Potenzreihe werden wir in Abschn. 7.6
kurz eingehen – auch, um dieses Verfahren zur Definition von Bessel Funktionen und Legendre
Polynomen zu verwenden.
§ 924 Das Lösungsverfahren der inhomogenen DGL erfolgt wieder in zwei Schritten: erst
wird eine allgemeine Lösung der homogenen DGL bestimmt, anschließend eine spezielle
Lösung der inhomogenen DGL. Dieser Abschnitt unterteilt sich entsprechend.
7.4.1 Lösung der homogenen DGL
§ 925 Die homogene lineare DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten,
ẍ + aẋ + bx = 0 mit a, b = const ,
lässt sich lösen mit Hilfe eines Exponentialansatzes
x = e λt .
§ 926 Die Lösungen dieser DGL besitzen die folgenden Eigenschaften:
1. Ist x 1 (t) Lösung der DGL, so ist es auch x(t) = c x 1 (t).
2. Superpositionsprinzip: Sind x 1 (t) und x 2 (t) Lösungen der DGL, so ist auch x(t) =
c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) eine Lösung. Oder anders formuliert: Die allgemeine Lösung x(t) ist
eine Linearkombination x(x) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) zweier linear unabhängiger Lösungen
x 1 (t) und x 2 (t).
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode