Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

1.6. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNG 35
Länge und Abstand
§ 167 Länge und Abstand sind verwandte Größen. Wir führen jetzt eine weitere Operation
im Vektorraum ein, das Skalarprodukt. Die Länge eines Vektors ⃗x soll der Abstand zwischen
dem Ursprung unseres Koordinatensystems und ⃗x sein; entsprechendes gilt für einen zweiten
Vektor ⃗y. Der Abstand zwischen diesen beiden Vektoren ist ⃗x−⃗y. Die Definition des Abstands
beinhaltet zwei Vektoren. Wie sieht es mit der der Länge aus? Auch hier sind zwei Vektoren
enthalten, da die Länge von ⃗x durch den Abstand zwischen ⃗x und ⃗0 bestimmt werden kann.
Das Skalarprodukt soll daher eine Operation sein, die aus zwei Vektoren ⃗x · ⃗y einen Skalar
macht.
§ 168 Die Vektoren ⃗x und ⃗y lassen sich mit Hilfe einer Basis {⃗e 1 , . . . , ⃗e n } ausdrücken:
n∑
n∑
⃗x = x i ⃗e i und ⃗y = y i ⃗e i .
i=1
i=1
j=1
i=1
Das Skalarprodukt
( n
) ⎛ ⎞
∑
n∑
⃗x · ⃗y = x i ⃗e i · ⎝ y j ⃗e j
⎠
ist damit ein Produkt einer Summe von Vektoren mit einer Summe von Vektoren (dieser
Ausdruck ist nur eine auf n Dimensionen erweiterte Variante des in (1.3) verwendeten). Damit
scheint unser anfängliches Problem nicht einfacher sondern eher komplizierter geworden zu
sein. Multiplizieren wir die Klammern aus. Unter der Annahme, dass das Skalarprodukt linear
ist und Faktoren ausgeklammert werden können, erhalten wir
n∑ n∑
⃗x · ⃗y = x i y j (⃗e i · ⃗e j ) .
i=1 j=1
Jetzt müssen wir nur noch, wie bereits in § 89 für den 3D ausgeführt, das Skalarprodukt als
eine Operation zwischen Basisvektoren definieren. Das Ziel bei der Einführung des Skalarprodukts
war die Bestimmung von Längen und Abständen. Diese sollen unabhängig von der
speziellen Basis sein, d.h. für eine Basis { ⃗ f 1 , . . . , ⃗ f n } sollten sich die gleiche Länge ergeben
wie für die Basis {⃗e 1 , . . . , ⃗e n }. Mit dieser neuen Basis werden die recht einfachen Ausdrücke
⃗e i · ⃗e j jedoch komplizierte Ausdrücke der ⃗ f i .
Im Euklidischen Raum
§ 169 Nach diesen abstrakten Vorbemerkungen kann uns, zumindest für den uns gewohnten
Euklidischen Raum, eine fast triviale Aussage helfen: die Länge einer geraden Linie soll weder
vom Ort im Raum noch von ihrer Ausrichtung abhängen. Dann muss das Skalarprodukt so
definiert sein, dass es nicht zwischen verschiedenen Vektoren in einer beliebigen Standardbasis
unterscheidet. Der einfachste Regelsatz in dem keine Richtung ausgezeichnet ist, ist gegeben
als
{
0 falls i ≠ j
⃗e i · ⃗e j = δ i,j =
.
1 falls i = j
Drücken wir nun das Skalarprodukt der in der Standardbasis dargestellten Vektoren ⃗x =
{x 1 , . . . , x n } und ⃗y = {y 1 , . . . , y 2 } mit Hilfe dieses Regelsatzes aus, so erhalten wir
n∑
⃗x · ⃗y = x 1 y 1 + . . . + x n y n = x i y i .
i=1
Das entspricht der üblichen Definition einer Länge, wie wir sie z.B. mit Hilfe des Satzes von
Pythagoras bestimmen würden. Damit erhalten wir als Definition für die Länge (den Betrag)
eines Vektors den bereits bekannten Ausdruck
|⃗x| = √ ⃗x · ⃗x .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007