Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

196 KAPITEL 5. INTEGRATION
Frage 60 Erläutern Sie Mittelpunkt- und Trapezformel der numerischen Integration. Was
ist der Unterschied zwischen den Verfahren, welche Vor- und Nachteile gibt es?
Frage 61 Erläutern Sie die Monte–Carlo Methode zur numerischen Integration.
Frage 62 In einfachen numerischen Verfahren werden konstante Gitterweiten verwendet,
anspruchsvollere Verfahren sind adaptiv. Was wird dabei angepasst und was ist das Kriterium
für die Anpassung?
Aufgaben
Simple Übungen zur Integration finden Sie in Aufgaben 331–335 sowie 340–343. Auch hier
beginnen wir gleich mit etwas anspruchsvolleren Aufgaben.
Techentechnik
Aufgabe 72 Bestimmen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe der Substitutionsmethode:
∫
∫
∫
1
F (x) = sin(kx + d) dx , G(x) =
2x + 9 dx , H(x) = x √ 5x 2 − 32 dx .
Aufgabe 73 Bestimmen Sie die folgenden Integrale durch (gegebenenfalls mehrfache) Produktintegration:
∫
∫
∫
F (x) = x cos x dx , G(x) = ax e bx d und H(x) = e x sin x dx .
Aufgabe 74 Bestimmen Sie die folgenden Integrale (Methode nach Wahl):
∫
∫
F (x) = x 2 sin(3x 3 + 2a) dx und G(x) = x 2 sinh x dx .
Aufgabe 75 Bestimmen Sie
∫ ⎛ ⎞
(t + 3)3
⎝
√3 t √e t ⎠ dt
t 2t
Aufgabe 76 Berechnen Sie die folgenden Doppelintegrale:
F =
∫ 1
x=0
∫ e
y=1
x 2
∫3
y dy dx , G =
∫
1−x
x=0 y=0
(2xy − x 2 − y 2 ) dy dx .
Aufgabe 77 Berechnen Sie die folgenden Dreifachintegrale:
∫ 1
F =
∫ 4
∫ π
x=0 y=−1 z=0
∫
x 2 y cos(yz) dz dy dx , G =
π/2
∫ 1
∫ y2
x=0 y=0 z=y
Aufgabe 78 Bestimmen Sie die folgenden Mehrfachintegrale:
F (x, y) =
G(x, y) =
H(x, y, z) =
3∫
4∫
x=1 y=2
2∫
π∫
x=−2 y=0
2+x
3∫
∫
x=1 y=2−x z=1
(
x 2 y + y 2 x 3) dy dx
x 2 sin y dy dx
4∫
z 2 e x dz dy dx .
yz sin x dz dy dx .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode