Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

376 KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
§ 1408 In einem Wirbelfeld (z.B. Magnetfeld eines stromdurchflossenen Drahtes), dargestellt
als ⃗ A(⃗r) = ( ⃗ B × ⃗r), ist die Divergenz ∇ · ( ⃗ B × ⃗r) = 0, d.h. Wirbelfelder sind quellenfrei.
Zwischenrechnung 57 Da die Aussage ‘Wirbelfelder sind quellenfrei’ häufiger verwendet
wird, sollten Sie sie an dieser Stelle nicht einfach hinnehmen sondern durch explizites nachrechnen
verifizieren.
Beispiele
§ 1409 Das Gravitationsfeld ist gegeben als −γM⃗r/r 3 . Die Divergenz des Gravitationsfeldes
ergibt sich durch Anwendung von (10.3) auf dieses Feld. Dabei verschwinden wieder die
Ableitungen nach ϑ und ϕ. Bei der Ableitung nach r ist Vorsicht geboten: der Ausdruck ⃗r/r 3
erfordert die Anwendung der Produktregel. Schreiben wir dies mit Hilfe des Nabla-Operators,
so ist
∇ · ⃗r r 3 = ∇ · (⃗r
r −3) = r −3 ∇ · ⃗r + ⃗r · ∇r −3 = ∇ · ⃗r
r 3 + ⃗r · ∇ 1 r 3 . (10.5)
Dabei haben wir den Nabla Operator so verwendet, wie wir es mit einem gewöhnlich ∂/∂r
ebenfalls getan hätten. Bei der verbalen Interpretation des letzten Ausdrucks ist jedoch Vorsicht
geboten: im ersten Term wird der Nabla Operator auf ein Vektorfeld ⃗r angewendet.
Daher ‘liest’ er sich dort auch als Divergenz. Im zweiten Term dagegen wird der Nabla Operator
auf ein Skalarfeld r −3 angewendet. Dann beschreibt er jedoch keine Divergenz mehr
sondern einen Gradienten. Verwenden wir nicht den Nabla Operator sondern die verbaleren
Beschreibungen mit Hilfe von Divergenz und Gradient, so liest sich (10.5) als
div ⃗r div ⃗r
=
r3 r 3 − ⃗r · grad 1 r 3 .
Einfache formale Überprüfung zeigt, dass auf der linken Seite ein Skalarfeld steht (die Divergenz
eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld), auf der rechten Seite im ersten Term ebenfalls
ein Skalarfeld (die Divergenz eines Vektorfeldes ist wieder ein Skalarfeld, dieses wird nur
mit r −3 skaliert) und im zweiten Term das Skalarprodukt aus einem Vektorfeld und einem
Gradienten eines Skalarfeldes. Da letzteres ein Vektorfeld ergibt, liefert die skalare Multiplikation
mit einem zweiten Vektorfeld wieder ein Skalarfeld, d.h. die Gleichung ist zumindest
dimensionsrichtig.
§ 1410 Nach diesen Vorbetrachtungen erhalten wir die Divergenz des Gravitationsfeldes zu
div
(−γM ⃗r )
( div⃗r
r 3 = −γM
r 3 + ⃗r · grad 1 )
( )
r 3
3 −3 ⃗r
= −γM + ⃗r
r3 r 4 = 0
r
für alle ⃗r ≠ 0, da das Gravitationsfeld einer Zentralmasse außer im Ursprung keine Quellen
hat und die Divergenz die lokale Quellstärke beschreibt.
§ 1411 Betrachten wir als Ergänzung zu § 1409 als einfache zweidimensionale Analogie ein
Leck am Ort ⃗r = ⃗r 0 in einem an der Oberfläche verlegten Wasserrohr. Dann existiert nur
bei ⃗r 0 eine Quelle. Da Wasser inkompressibel ist, strömt es von dieser Quelle fort; jedes
umliegende Flächenelement enthält weder Quellen noch Senken, d.h. was einströmt muss auch
wieder ausströmen. Anschaulich ist also ∇ · ⃗v = 0 für alle ⃗r ≠ 0. Außerdem ist das Problem
radialsymmetrisch, d.h. es muss gelten ⃗v(⃗r) = f(r)⃗e r . Da der Fluss durch konzentrische
Kreise konstant sein muss, ist f(r) ∼ 1/r. Die Quelle injiziere ein Flüssigkeisvolumen V pro
Zeiteinheit. Damit erhalten wir für das Geschwindigkeitsfeld
⃗v(⃗r) =
V
2πr ⃗e r .
Einsetzten in die Definition der Divergenz (Zylinderkoordinaten) liefert
∇ · ⃗v = 1 r
∂(rv r (r))
∂r
= 1 r
∂V/2π
∂r
= 0 .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode