Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

250 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Abbildung 7.7: Einschwingverhalten einer
erzwungenen Schwingung: gestrichelt die
gedämpfte Schwingung ohne äußeren Antrieb,
punktiert der äußere Antrieb, durchgezogen
die sich ergebende Schwingung. Nach
dem Einschwingen, d.h. nach Abklingen
der gedämpften Schwingung, bleibt eine
um ϕ gegenüber der Anregung verschobene
erzwungene Schwingung
7.5.3 Erzwungene Schwingung
§ 951 Der Übergang zur erzwungenen Schwingung bedeutet mathematisch den Übergang
zu einer inhomogenen Differentialgleichung, da die zusätzliche Kraftdichte f A cos(Ωt) die
unabhängige Variable t explizit enthält:
ẍ + 2γẋ + ω 2 0x = f a cos(Ωt) .
Den homogenen Teil haben wir bereits ausführlich behandelt, d.h. an dieser Stelle müssen
wir nur noch eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL finden. Dazu machen wir einen
Ansatz, der der Inhomogenität ähnlich ist, d.h. in reeller Schreibweise einen Ansatz der Form
x(t) = a sin(Ωt) + b cos(Ωt).
§ 952 Da wir bereits wissen, dass im Falle einer Schwingung ohnehin komplexe Eigenwerte
entstehen, können wir auch eine kompaktere, nämlich komplexe Schreibweise für die Inhomogenität
verwenden (siehe Abschn. 6.3.4)
ẍ c + 2γẋ c + ω 2 0x c = f A e iΩt .
Ein der Inhomogenität ähnlicher Ansatz reduziert sich mit der komplexen Amplitude A auf
x c (t) = Ae iΩt mit ẋ c = iΩAe iΩt = iΩx c (t) und ẍ c = −Ω 2 x c (t) .
Einsetzen in die DGL liefert mit
(−Ω 2 + 2iγΩ + ω 2 0)A = f A
den Zusammenhang zwischen der Amplitude f A der antreibenden Kraftdichte und der komplexen
Amplitude A der Schwingung. Deren Betrag ist
A r = √ √
AA ∗ f A
f A
=
ω0 2 − Ω2 + 2iγΩ ω0 2 − Ω2 − 2iγΩ = f
√ a
(ω
2
0 − Ω 2 ) 2 + (2γΩ) . (7.20)
2
Für den Phasenwinkel ergibt sich
ϕ = − arctan I(A)
R(A) = − arctan
ω 2 0
2γΩ
. (7.21)
− Ω2
Als partikuläre Lösung der inhomogenen DGL erhalten wir damit
x p (t) = A r cos(Ωt + ϕ) . (7.22)
Querverbindung 9 Machen Sie sich in der obigen Herleitung noch einmal mit Hilfe von
Abschn. 6.3.4 die komplexe Darstellung reeller Größen klar, u.a. die Bedeutung von f A und
f a .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode