Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

204 KAPITEL 6. KOMPLEXE ZAHLEN
Abbildung 6.2: Das konjugiert
komplexe Z einer
komplexen Zahl ergibt sich
durch (a) Spiegelung an
der Abszisse (graphisch),
(b) Vertauschen des Vorzeichens
vor dem Imaginärteil
((a ± ib) → (a ∓ ib)) oder
(c) Vorzeichenwechsel beim
Argument (e iϕ → e −iϕ )
dem mathematischen Konstrukt Vektor verträglich, auch wenn die Anschauung dann versagt.
Für Vektoren mit r i ∈ C gelten die gleichen Rechenregeln wie für Vektoren mit r i ∈ R –
mit einer wichtigen Ausnahme: da das Skalarprodukt auch zur Normierung verwendet wird,
d.h. den Betrag geben muss, wird es aus dem zweiten Vektor und dem konjugiert komplexen
des ersten Vektors gebildet. Die konventionelle Version des Skalarprodukts würde für den
Vektor ⃗r = (0, 0, i) zu r 2 = −1 und damit einem imaginären Betrag führen. Das Produkt
⃗r ∗ · ⃗r = (0, 0, −i) · (0, 0, i) dagegen hat das Ergebnis −i 2 = 1.
6.3 Euler Formel
§ 791 Tritt in der Physik eine Schwingung oder eine andere periodische Größe auf, so ist
die effizienteste Beschreibung die mit komplexen Zahlen. Dazu müssen Sie von komplexen
Zahlen eigentlich nur einen Sachverhalt beherrschen, die Euler Formel
e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ . (6.8)
Lesen wir die Gleichung von links nach rechts, so erfahren wir, dass sich eine Exponentialfunktion
mit imaginärem Exponenten als Summe aus dem Kosinus des Exponenten auf der
reellen Achse und dem Sinus des Exponenten auf der imaginären Achse darstellen lässt. Die
Leseweise in umgekehrter Richtung ist vielleicht wichtiger: trigonometrische Funktionen wie
Sinus oder Kosinus lassen sich mit Hilfe einer Exponentialfunktion mit imaginärem Exponenten
darstellen. 4
6.3.1 Herleitung
§ 792 Die Euler Formel (6.8) lässt sich mit Hilfe der Taylor Entwicklung(2.7) herleiten: mit
f(x) = f(0) + x 1! f ′ (0) + x2
2! f ′′ (0) + x3
3! f ′′′ (0) + . . .
haben wir in Abschn. 2.4 bereits die Entwicklung einer Exponentialfunktion mit reellem
Exponenten durchgeführt mit dem Ergebnis (2.8)
e x = 1 + x 1! + x2
2! + x3
3! + x4
4! + x5
5! + x6
6! + x7
7! + . . . .
§ 793 Die Taylor Entwicklung gilt nicht nur für reelle Funktionen sondern auch für komplexe.
Daher lässt sich die Funktion e iϕ entwickeln als:
e iϕ = 1 + iϕ 1! + (iϕ)2
2!
+ (iϕ)3
3!
+ (iϕ)4
4!
+ (iϕ)5
5!
+ (iϕ)6
6!
+ (iϕ)7
7!
+ . . . .
4 Werfen Sie bitte nochmals einen Blick auf die Euler Formel und machen sich eine Konsequenz klar, auf
die wir im Rahmen dieser Vorlesung nicht eingehen werden. Der Ausdruck e iϕ beschreibt eine Funktion, deren
Argument eine komplexe Zahl ist. Das ist keine spezielle Eigenschaft der Exponentialfunktion. Ebenso wie die
Komponenten von Vektoren können die Argumente von Funktionen und damit auch deren Funktionswerte
komplexe Zahlen sein. Letztere werden auch als komplexe oder komplexwertige Funktionen bezeichnet.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode