Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

3.6. FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN 111
3.6 Funktionen mehrerer Variablen
§ 443 Am Anfang des Kapitels haben wir Funktionen als eine mathematische Interpretation
eines Experiments eingeführt: der Strom i durch den Widerstand wird in Abhängigkeit von
der angelegten Spannung u gemessen und durch die Funktion i(u) beschrieben. Ein pingeliger
Experimentator stellt fest, dass die Temperatur T die Messreihen beeinflusst. Also macht
er ein neues Experiment und misst den Strom i in Abhängigkeit von zwei unabhängigen
Variablen u und T . Den Zusammenhang beschreibt er durch eine Funktion i(u, T ), d.h. eine
Funktion, die von zwei Variablen abhängt.
§ 444 Funktionen mehrerer Variablen treten in der Physik häufig auf. Eine einfache geometrische
Anschauung für eine Funktion in Abhängigkeit von zwei Variablen liefert das Relief
einer Landschaft. Dies können wir beschreiben durch eine abhängige Variable h, die die Höhe
über Normalnull angibt. Diese hängt vom Ort ab, ausgedrückt durch des Koordinaten Länge
y und Breite x. Damit lässt sich das Relief als eine Funktion h(x, y) beschreiben. Die anschaulichste
Darstellung ist ein dreidimensionaler Plot in dem die beiden unabhängigen Variablen
die xy-Ebene bilden und die Höhe als abhängige Variable parallel zur z-Achse abgetragen
wird. Das ist anschaulich, auf einer Wanderung zur Orientierung aber unpraktisch; dort bietet
sich die konventionelle zweidimensionale topographische Karte als ein besser transportables
Hilfsmittel an. In dieser ist die Höheninformation in Form von Höhenlinien enthalten: diese
Isolinien verbinden Punkte, die auf gleicher Höhe liegen bzw. mathematisch gesprochen den
gleichen Funktionswert annehmen.
3.6.1 Definition
§ 445 Funktionen mehrerer variablen werden in Anlehnung an Funktionen einer Variablen
definiert als eine Zuordnungsvorschrift, die eindeutig ist. Für Funktionen von zwei variablen
erhalten wir damit die folgende Definition:
Definition 35 Eine Funktion von zwei unabhängigen Variablen ist eine Vorschrift, die jedem
geordneten Zahlenpaar (x, y) aus dem Definitionsbereich D genau ein Element z aus
dem Wertebereich W zuordnet: z = f(x, y).
Diese Definition kann auf eine größere Zahl unabhängiger Variablen erweitert werden. Bei
einer größeren Zahl n unabhängiger Variabler werden diese in der Regel als x i bezeichnet,
die Funktion dann als f(x 1 , x 2 , . . . x n ).
§ 446 Der Graph einer Funktion von zwei Variablen ist eine Fläche im Raum; entsprechend
einem Höhenrelief. Eine Funktion von mehr als zwei unabhängigen Variablen lässt sich im
3D nicht mehr graphisch darstellen. Daher werden im Folgenden meist Funktionen von zwei
unabhängigen Variablen betrachtet: das ist keine Einschränkung, da die Anpassung der mathematischen
Begriffe beim Übergang von einer unabhängigen Variablen auf n = 2 erfolgt.
Für n > 2 gelten die gleichen Regeln wie für n = 2.
§ 447 Aus mathematischer Sicht ist eine anschauliche Darstellung dieser Funktionen nicht
erforderlich sondern eher problematisch, da dadurch eine künstliche Reduktion auf Funktionen
von zwei unabhängigen Variablen erzeugt wird – und Sie daran gehindert werden, gleich
in abstrakten Konstrukten im R n zu denken. Da die Darstellung von Funktionen zweier
variablen aber einfach zu verstehen ist, doch ein Beispiel dazu.
§ 448 Die graphische Darstellung der Funktion f(x, y) = x 2 + y gibt ein parabolisches Tal
in der xy-Ebene, dessen Boden mit zunehmendem y ansteigt, vgl. linkes unteres Teilbild
in Abb. 3.20. Um eine Vorstellung von dieser Funktion zu entwickeln, starten wir mit zwei
vereinfachenden Betrachtungen: für konstantes y reduziert sich die Funktion auf f(x, c) =
x 2 + c, d.h. auf eine um eine Konstante verschobene Parabel in der xz-Ebene. Insbesondere
ergibt sich für y = 0 eine Funktion f(x, 0) = x 2 wie im linken oberen Teilbild gezeigt. Für
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007