Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.6. DIFFERENTIALRECHNUNG IN MATLAB 159
sieht es dagegen bei einer Messung aus. Hier haben Sie z.B. den Ort in Abhängigkeit von der
Zeit gemessen, d.h. es liegt eine Tabelle ähnlich der in § 433 vor. Die Geschwindigkeiten in
jedem Zeitintervall lassen sich dann durch ‘Ableitung’ der Messwerte bestimmen. Sei space
der den Ort enthaltende Vektor, time ist der die Zeit enthaltende Vektor. Dann ergibt sich
die Geschwindigkeit zu
ds=diff(space);dt=diff(time);v=ds./dt
Ist die Messung, wie im Beispiel in § 433 in äquidistanten Zeitschritten erfolgt, so können
wir uns das diff(time) sparen und stattdessen einfach durch den Zeitschritt teilen. Falls
Sie den Vektor v plotten wollen, müssen Sie sich erst eine neue Zeitachse erzeugen, da die
Geschwindigkeiten jetzt jeweils in der Mitte des Zeitintervalls gelten. Ist time äquidistante,
so lässt sich der neue Vektor wie in § 625 erzeugen. Sonst müssen Sie ihn aus time und
diff(time) erzeugen, z.B.
for k=1:length(time)-1
timefuerv = time(k)+dt(k)
end
oder in wesentlich eleganterer Variante, direkt in den Aufruf von plot integriert
plot(v,time(1:length(time)-1)+0.5*dt)
4.6.3 Extrema
§ 629 Extrema einer Funktion sind die Punkte mit waagerechter Tangente und damit die
Nullstellen der Ableitung.
§ 630 MatLab stellt neben fzero für die Nullstellensuche die Funktion fminbnd für die Su- fminbnd
che nach Extrema. Auch hier wird die Funktion als String eingegeben. Als weitere Argumente
werden zwei x-Werte übergeben, die das Intervall definieren, in dem fminbnd das Minimum
sucht:
>> fminbnd(’x*x’,-3,3) ←↪
ans =
1.1102e-016
Das Ergebnis weicht um die interne Rechnergenauigkeit vom Erwartungswert Null ab. Bei
der Verwendung von fminbnd ist jedoch Vorsicht geboten, da die Funktion den kleinsten
Wert innerhalb des betrachteten Intervalls bestimmt – was nicht zwingend ein Extremum
der Funktion ist. So liefert auch der Befehl
>> fminbnd(’x*x’,-3,-1) ←↪
ans =
-1.0000
einen minimalen Wert (eben den in dem Intervall), aber kein Minimum.
4.6.4 Felder und Gradienten
§ 631 Bei der Darstellung von Feldern in MatLab müssen wir zwischen Skalar- und Vektorfeldern
unterscheiden. Die für Vektorfelder wichtigen MatLab-Funktionen coneplot,
stream2, und streamline werden wir im Rahmen der Vektoranalysis in Kap. 10 genauer
betrachten.
§ 632 Zur Darstellung der in diesem Kapitel betrachteten Skalarfelder können wir auf die
Darstellung von Funktionen mehrerer Variablen, wie in Abschn. 3.7 diskutiert, zurück greifen:
ein Skalarfeld ist eine skalare Funktion mehrerer Variablen, nämlich der Raumkoordinaten
und der Zeit. Wie in Abschn. 3.7 diskutiert, ist die anschauliche Darstellung beschränkt auf
Funktionen in Abhängigkeit von zwei Variablen, d.h. wir können nur Felder in einer Ebene
coneplot
stream2
streamline
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007