Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

364 KAPITEL 9. VERALLGEMEINERTE FUNKTIONEN
Abbildung 9.4: Error-Funktion
erf(x) und die komplementäre
Error-Funktion erfc(x)
erf(x) und erfc(x)
2.5
erfc(x)
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
erf(x)
−1.5
−3 −2 −1 0 1 2 3
x
eine Funktion der gesuchten Form, wenn auch mit einigen zusätzlichen konstanten Faktoren.
Haben wir diese Verteilung einmal für die Klausurergebnisse bestimmt, so lässt sich der Anteil
der Klausuren, die mit Noten zwischen a und b bewertet wurde, bestimmen zu
∫ b
a
P (x) dx == ex2 0 /(2σ)
√
2πσ
∫b
a
⎛
e −x2 /2σ dx = ex2 0 /(2σ)
√ ⎝
2πσ
∫ b
0
e −x2 /2σ dx −
∫ a
0
⎞
e −x2 /2σ dx⎠ .
Die Integrale in der Klammer lassen sich jeweils mit Hilfe der Error Funktion auswerten.
§ 1364 Eine physikalische, allerdings bis auf die andere Bezeichnung der Variablen und Konstanten
formal identische Anwendung der Error Funktion ist die Untersuchung der Geschwindigkeitsverteilung
eines Gases. Die Maxwell–Boltzmann Verteilung gibt die relative Teilchenzahl
im Geschwindigkeitsintervall von v bis v + dv als
dN
N = f(v) = ( m
2πkT
) 1/2
exp
(− mv2
2kT
)
dv .
Darin ist T die Temperatur, m die Masse, k die Boltzmann-Konstante und v die Geschwindigkeit.
Die thermische Geschwindigkeit v th
√
2kT
v th =
m .
gibt das Maximum der Verteilung. Gesucht der Anteil der Teilchen, die Geschwindigkeiten
kleiner als die thermische Geschwindigkeit haben, d.h. die Verteilung ist im Intervall
[−v rmth , t th ] zu integrieren:
F =
∫v th
−v th
f(v) dv .
Da f(v) eine gerade Funktion ist, können wir die untere Integrationsgrenze durch Null ersetzen:
∫v th ∫
F = 2 f(v) dv =
0
v th
0
( m
2πkT
) )
1/2 (
exp
(− mv2
m
dv =
2kT 2πkT
) 1/2
v th
Um die Error-Funktion in diesem Integral zu erkennen, substituieren wir
√ m
u =
2kT v = v .
v th
Dann gilt
du =
√ m
2kT dv
∫
)
exp
(− mv2 dv .
2kT
0
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode