Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

1.5. ANWENDUNGEN FÜR PRODUKTE VON VEKTOREN 25
schwindigkeit bezeichnet, da sie tangential an der Bahn des Körpers liegt. Diese Definition
gilt für alle Bewegungen, insbesondere also auch für die Kreisbewegung.
§ 125 Wenden wir diese Definition der Geschwindigkeit auf die Bewegung eines der Karussell-
Pferdchen in Abb. 1.5 an – unter der Annahme, dass wir das Pferd als Massenpunkt der Masse
m im Abstand ϱ von der Drehachse betrachten. Oder, da es sich um einen starren Körper
handelt, betrachten Sie nur die Bewegung der Spitze des linken Ohres. Die Bewegung wird
durch die Abhängigkeit seines Ortsvektors von der Zeit beschrieben, d.h. durch ⃗ϱ(t). 9 Mit
Hilfe von Polarkoordinaten lässt sich dies ausdrücken als
⃗v = d dt ⃗ϱ = d ( )
ϱ cos ϕ(t)
= ϱ d ( )
cos ϕ(t)
. (1.11)
dt ϱ sin ϕ(t) dt sin ϕ(t)
Darin hängt der Abstand ϱ nicht von der Zeit ab; der momentane Ort des Pferdchens wird
allein durch den Winkel ϕ(t) beschrieben.
§ 126 Dieser Winkel ϕ(t) lässt sich aus der Winkelgeschwindigkeit ω bestimmen. Diese wird
in Analogie zur Bahngeschwindigkeit als die Änderung des Winkels ϕ mit der Zeit t definiert
als ω = dϕ/dt. Bei einer konstanten Kreisbewegung ist ω = ϕ/t = const. Also erhalten wir
für den Ort ϕ(t) des Pferdchens ϕ(t) = ωt + ϕ 0 mit ϕ 0 als dem Winkel zur Zeit t = 0,
d.h. der Lage des Pferdchens bei Beginn der Bewegung. Setzen wir diesen gleich Null, so ist
ϕ(t) = ωt. Einsetzen in (1.11) liefert
⃗v = d ( )
ϱ cos(ωt)
.
dt ϱ sin(ωt)
Im Vorgriff auf Abschn. 4.5 differenzieren wir den Vektor komponentenweise und erhalten
( )
− sin(ωt)
⃗v = ϱω
.
cos(ωt)
Diese Beschreibung ist formal ebenso wenig befriedigend wie sie unserer Anschauung entgegen
kommt: die Beschreibung mit ⃗v ist unhandlich, da wir intuitiv verstehen, dass eigentlich
nur die Winkelgeschwindigkeit ω wichtig ist. Und die Beschreibung ist formal ein gewisser
Overkill, da die Winkelfunktionen periodisch sind und sich daher die Bewegung, wie auch anschaulich
zu erwarten, jeweils dann wiederholt, wenn das Argument ωt der Winkelfunktionen
2π wird, d.h. nach einer Zeit t = 2π/ω.
§ 127 Die Bedeutung der Winkelgeschwindigkeit ω ist intuitiv klar. Also liegt eine Beschreibung
der Bewegung mit Hilfe von ω nahe. Diese ist jedoch nicht vollständig, da wir keine
Idee haben, wo im Raum die Bewegung stattfindet: steht die Drehachse des Karussells wie in
Abb. 1.5, oder hat vielleicht jemand das Karussell falsch zusammen gesetzt und die Drehachse
steht gerade auf dem Kopf? Oder vielleicht liegt sie auch waagerecht?
§ 128 Sowohl der Ortsvektor ⃗ϱ als auch die Geschwindigkeit ⃗v hängen von der Zeit ab. Der
einzige konstante Vektor ist die Drehachse. Diese steht senkrecht auf der Ebene, in der die
Bewegung erfolgt, d.h. sie steht senkrecht sowohl auf dem Ortsvektor ⃗ϱ als auch auf der
Geschwindigkeit ⃗v. Die vektorielle Operation, die aus ⃗ϱ und ⃗v einen auf beiden senkrecht
stehenden Vektor erzeugt, ist das Vektorprodukt. Da dieses nicht kommutativ ist, bleibt nur
noch die Frage, in welcher Reihenfolge die beiden Vektoren multipliziert werden sollen. Dazu
soll die Rechtsschraubenregel erfüllt sein: weist der abgespreizte Daumen der rechten Hand
parallel zu ⃗ω, so bewegt sich der Körper in der Richtung, in die die gekrümmten Finger
zeigen. Damit ergibt sich für die Winkelgeschwindigkeit in vektorieller Form
⃗ω = ⃗ϱ × ⃗v .
Da wir den Winkel im Bogenmaß angeben, ist der Zusammenhang zwischen dem zurück gelegten
Winkel ϕ und dem zurück gelegten Weg (also Bogen) s: s = ϱϕ. Entsprechend gilt
9 Wir verwenden hier, in Anlehnung an die Zylinderkoordinaten, nicht den Ortsvektor ⃗r sondern einen
Vektor ⃗ϱ, der den Abstand von der Drehachse beschreibt. Wenn der Ursprung unseres Koordinatensystems
mit dem Durchstoßpunkt der Drehachse durch die Drehebene zusammen fällt, so ist ⃗r = ⃗ϱ.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007