Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

310 KAPITEL 8. MATRIZEN
8.2.1 Grundbegriffe
Definition 67 Eine Matrix A vom Typ (m, n) ist ein aus m × n Zahlen bestehendes rechteckiges
Schema mit m Zeilen und n Spalten:
⎛
⎞
a 11 a 12 . . . a 1n
a
A = (a ij ) = ⎜ 21 a 22 . . . a 2n
⎝
.
⎟
. . .. .
⎠ .
a m1 a m2 . . . a mn
Die a ij werden als Matrixelemente bezeichnet; sie können reell (reelle Matrix) oder komplex
sein.
§ 1148 Beim Umgang mit Matrizen werden wir es wie MatLab hanbhaben: die Elemente
einer Matrix sind grundsätzlich komplex. Die reelle Matrix mit a ij ∈ R ist nur ein Spezialfall.
Beim Rechnen mit komplexen Matrizen müssen die Rechenregeln für komplexe Zahlen
berücksichtigt werden. Einige spezielle Begriffe im Zusammenhang mit komplexen Matrizen
werden weiter unten eingeführt.
§ 1149 Die allgemeine Struktur einer Matrix ist ein m × n Schema. Spezialfälle ergeben sich
für
• m = n: dies ist die quadratische Matrix oder n × n Matrix mit gleicher Spalten- und
Zeilenzahl:
⎛
⎞
a 11 a 12 . . . a 1n
a
A = (a ij ) = ⎜ 21 a 22 . . . a 2n
⎟
⎝
. . . . . .
⎠ .
a n1 a n2 . . . a nn
• m = 1 liefert die 1 × n Zeilenmatrix
A = (a 1i ) = (a 1 a 2 ... a n ) ,
die nur aus einer Zeile besteht und auch als Zeilenvektor bezeichnet wird.
• n = 1 liefert die n × 1 Spaltenmatrix
⎛ ⎞
a 1
a
A = (a i1 ) = ⎜ 2
⎟
⎝
.
⎠ ,
a n
die nur aus einer Spalte besteht und auch als Spaltenvektor bezeichnet wir.
Quadratische Matrizen
§ 1150 Bei einer quadratischen Matrix ist die Spaltenzahl gleich der Zeilenzahl. Die Hauptdiagonale
verläuft von links oben nach recht unten und verbindet die Diagonalelemente a ii
miteinander. Die Nebendiagonale läuft von links unten nach rechts oben und verbindet die
a i,j+1−i miteinander.
§ 1151 Einige spezielle Matrizen sind quadratisch. So ist die Diagonalmatrix eine quadratische
Matrix bei der alle außerhalb der Hauptdiagonalen liegenden Elemente verschwinden:
a ij = 0 für alle i ≠ j. Eine spezielle Diagonalmatrix ist die Einheitsmatrix E mit a ii = 1:
⎛
⎞
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
E = (δ ij ) = ⎜
⎝
.
. ⎟
. .. .
⎠
0 0 . . . 1
mit δ ij als dem bereits bekannten Kronecker-Symbol.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode