Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

12.2. VERTEILUNGSFUNKTIONEN 451
Abbildung 12.7: Normalverteilung oder
Gauß’sche Glockenkurve
Dann erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit, dass alle 1500 Bauteile intakt sind, P (X =
0) = 0.86.
12.2.5 Gauß’sche Normalverteilung
§ 1683 Die Normalverteilung oder Glockenkurve ist eine Funktion der Form
f(x) = e −αx2 .
Sie ist symmetrisch zur y-Achse, vgl. Abb. 12.7, und nähert sich um so schneller asymptotisch
der x-Achse, je größer der Parameter α ist. Das Maximum B liegt bei (0,1), die Wendepunkte
A und C liegen bei (±1/(α √ 2), 1/ √ e), die Steigungen der Tangenten in diesem Punkt sind
tan ϕ = ∓a √ 2/e.
§ 1684 ie häufigste Anwendung einer Glockenkurve ist die Beschreibung der Gauß’schen
Normalverteilung. Auch wenn sich diese als Grenzübergang aus einer Binominalverteilung
herleiten lässt, unterscheidet sie sich von den beiden bisher betrachteten Verteilungen: sie ist
nicht auf diskrete Werte beschränkt sondern beschreibt eine stetige Verteilung von Zufallsvariablen.
Definition 101 Die Verteilung einer stetigen Zufallsvariablen X mit der Dichtefunktion
{
f(x) = √ 1 exp − 1 ( ) } 2 x − µ
2π σ 2 σ
und der Verteilungsfunktion
F (x) = P (X ≤ x) = 1 √
2x σ
heißt Gauß’sche Normalverteilung.
∫x
−∞
{
exp − 1 ( ) } 2 x − µ
dx
2 σ
§ 1685 Eine Normalverteilung mit den Parametern Mittelwert µ = 0 und Standardabweichung
σ = 1 heißt Standardnormalverteilung oder standardisierte Normalverteilung. Ihre
Dichtefunktion ist die Glockenkurve
f n (x) = 1 √
2π
exp
{− x2
2
}
.
Die zugehörige Verteilungsfunktion ist
F n (u) = P (U ≤ u) = 1 √
2π
∫u
−∞
exp
} {− u2
du . (12.11)
2
Sie ist symmetrisch um den Mittelwert µ, die Wendepunkte liegen bei µ ± σ. Ein Integral
dieser Form ist uns bereits aus der Error-Funktion (9.15) bekannt. Daher können wir die
Error-Funktion auch zur Auswertung der Normalverteilung verwenden:
P (U ≤ u) = 1 (1 + erf u )
√ .
2 2
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007