Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

446 KAPITEL 12. STATISTIK
wird, ist die Geschwindigkeit v der einzelnen Gasmoleküle; die Verteilungsfunktion f(v) gibt
an, wie sich die Geschwindigkeit v auf die verschiedenen Moleküle verteilt. Meist interessiert
uns die Größe f(v) dv, die den Bruchteil der Teilchen angibt, die Geschwindigkeiten im
Intervall zwischen v und dv haben. Da die Verteilungsfunktion normiert ist, gilt
f(v) dv =
N(v) dv
N
mit N =
∫ ∞
−∞
N(v) dv
als der Gesamtzahl der Teilchen. Damit ergibt sich für die Zahl der Moleküle mit Geschwindigkeiten
zwischen v und v + dv: N(v) dv = N f(v) dv. Für die Zahl der Teilchen mit Geschwindigkeiten
größer einer bestimmten Geschwindigkeit v b ergibt sich
N v>vb =
∫ ∞
v=v b
f(v) dv .
12.2.2 Kenngrößen einer Verteilung
§ 1662 Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung kann durch den Erwartungswert oder Mittelwert
charakterisiert werden.
Definition 99 Der Erwartungswert E(X) einer diskreten bzw. stetigen Zufallsvariablen X
mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) ist gegeben als
E(X) = ∑ i
x i f(x i ) bzw. E(X) =
∫ ∞
−∞
x f(x) dx .
§ 1663 In Bsp. 1655 haben wir die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) für das Würfeln betrachtet.
Der Erwartungswert E(X) ist
E(X) = 1 6
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) =
21
6 = 3.5 .
§ 1664 Den Erwartungswert für die Augensumme beim Wurf mit zwei Würfeln können wir
aus der Tabelle in Bsp. 1640 bestimmen zu
E(X) = 1
36 (2 · 1 + 3 · 2 + 4 · 3 + 5 · 4 + 6 · 5 + 7 · 6 + 8 · 5 + 9 · 4
+ 10 · 3 + 11 · 2 + 12 · 1) = 7 .
Da die Verteilung symmetrisch ist, erhalten wir den häufigsten Wert gleichzeitig auch als
Erwartungs- oder Mittelwert.
§ 1665 Erwartungswerte lassen sich auch für Funktionen definieren:
Definition 100 X sei eine Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion
f(x) und Z = g(X) sei eine von X abhängige Funktion. Unter dem Erwartungswert E(Z) =
E[g(X)] der Funktion Z = g(X) versteht man im Falle einer diskreten Zufallsvariablen X
die Größe
E(Z) = E[(g(X)] = ∑ i
g(x i ) f(x i ) .
Für eine stetige Zufallsvariable ergibt sich entsprechend
E(Z) = E[g(Z)] =
∫ ∞
−∞
g(x) f(x) dx .
§ 1666 Weitere wichtige Kennwerte einer Verteilung sind neben dem Mittelwert µ = x die
Varianz σ 2 und die Standardabweichung σ.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode