Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

220 KAPITEL 6. KOMPLEXE ZAHLEN
Abbildung 6.9: Feigenbaum Attraktor
Abbildung 6.10: Apfelmännchen und Selbstähnlichkeit http://en.wikipedia.org/wiki/
Fractal
fand er z.B. eine starke Abhängigkeit der Konvergenzeigenschaften vom Parameter α. Abbildung
6.9 ist eine Reproduktion des nach ihm benannten Feigenbaum Attraktors. Auf der
Abszisse ist der Parameter α aufgetragen. Dieser wurde in kleinen Schritten variiert. Für
jeden der Werte von α sind auf der Ordinate die Werte der Folgenglieder x 201 bis x 300 aufgetragen.
Für α < 3 scheint die Folge zu konvergieren: die Werte von x 201 bis x 300 fallen
alle in die enge Umgebung eines Punktes. Dieser wird als Attraktor bezeichnet. Bei einem
α in der Nähe von 3 verzweigt sich die Lösung. Hinter dieser Bifurkation gibt es nicht nur
einen Attraktor sondern zwei Punkte, in deren Nähe sich die Glieder der Folge sammeln. Mit
zunehmendem α kommt es auf beiden Zweigen zu einer erneuten Bifurkation bis die Lösung
schließlich chaotisch wird. Ein physikalisches Beispiel, in dem die graphische Lösung dem
Feigenbaum Attraktor ähnelt, ist der Duffing Oszillator.
§ 862 Das Apfelmännchen, auch bezeichnet als Mandelbrot Menge, 14 ist eine andere Form
der Darstellung von Konvergenz. Hier wird die bereits aus (2.2) bekannte Folge
z k+1 = z 2 k + c mit z 0 = 0 und z, c ∈ C
betrachtet. In Abhängigkeit vom Wert des komplexen Kontrollparameters c liegt die Häufungspunkt
im Endlichen (dann gehört c zur Mandelbrot Menge) oder nicht (dann gehört c nicht
zur Mandelbrot Menge). Das bedeutet, dass für jeden Wert von c die Reihe gebildet und auf
Konvergenz untersucht werden muss. Daher beschränkt man die Bildung der Reihe auf eine
bestimmt Zahl N von Schritten, z.B. 1000. Zwar kann man Konvergenz streng genommen
nicht zeigen, allerdings lässt sich mathematisch zeigen, dass die Folge auf jeden Fall divergiert,
wenn für ein Glied der Folge |z k | > 2 gilt. Ist dies nicht der Fall bevor z N erreicht wurde, so
geht man davon aus, dass die Folge für dieses c konvergiert. In der komplexen Ebene lassen
sich so alle Punkte markieren, die zur Mandelbrot Menge gehören. Für das klassische Apfelmännchen
wird dabei der Ausschnitt R(c) ∈ [−2, 0.5] und I(c) ∈ [−1.25, 1.25] betrachtet –
außerhalb dieses Bereiches divergiert die Folge sehr schnell. Unterscheidet man nur nach Divergenz
und Konvergenz, so bietet sich eine Schwarz-Weiß-Darstellung des Apfelmännchens
an. Bei Farbdarstellungen wie in Abb. 6.10 wird die Farbkodierung abhängig davon gewählt,
14 Falls Sie Literaturrecherche betreiben wollen: die Mandelbrot Menge ist ein Spezialfall einer Julia Menge,
d.h. Sie sollten unter letzterem Stichwort suchen.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode