Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

5.3. MEHRFACHINTEGRALE 175
Zuerst führen wir die innere Integration nach der Variablen y aus: die Variable x wird als
Konstante betrachtet und die Funktion f(x, y) unter Verwendung der für gewöhnliche Integrale
geltenden Regeln über y integriert. In die ermittelte Stammfunktion setzt man für
y die Integrationsgrenzen f o (x) und f u (x) ein und bildet die entsprechende Differenz. Anschließend
führen wir die äußere Integration nach der Variablen x aus: die als Ergebnis der
inneren Integration erhaltene, nur noch von der Variablen x abhängige Funktion wird nun in
den Grenzen von x = a bis x = b integriert.
Verständnisfrage 10 Kann es vorkommen, dass die Grenzen in x von y abhängen und
gleichzeitig die Grenzen von y von x? Wie geht man dann mit dem Doppelintegral um?
§ 678 Die Reihenfolge der Integration ist eindeutig durch die Reihenfolge der Differentiale
im Doppelintegral festgelegt. Sie sind nur dann vertauschbar, wenn die Integrationsgrenzen
konstant sind:
⎡
⎤
∫ b
∫ d
x=a y=c
f(x, y) dy dx =
=
∫ b
x=a
∫ d
y=c
⎣
⎡
⎣
∫ d
y=c
∫ b
x=a
f(x, y) dy⎦ dx
⎤
f(x, y) dx⎦ dy =
∫ d
∫ b
y=c x=a
f(x, y) dx dy .
§ 679 Als Beispiel für die Rechentechnik betrachten wir ein simples mathematisches Problem.
Es ist das Doppelintegral
I =
∫ 1
x=0
∫
π/4
y=0
3x 2 cos(2y) dy dx .
zu bestimmen. Dazu integrieren wir zuerst über die innere Variable y:
∫
π/4
y=0
∫π/4
3x 2 cos(2y) dy = 3x 2
y=0
cos(2y) dy = 3 2 x
[e 1 ] π/4
2 sin(2y)
Der zweite Schritt ist die Integration über die äußere Variable x:
I =
∫ 1
x=0
3
2 x2 dx = 1 2
∫ 1
x=0
[
x
3 ] 1
0 = 1 2 .
= 3
y=0
2 x2 .
§ 680 Da die Integrationsgrenzen konstant sind, lässt sich die Integration gemäß § 678 vertauschen:
∫ ∫
∫ [x
3x 2 3
cos(2y) dx dy =
] [ ] π/4
1
1 cos(2y)dy = 0
2 sin(2y) = 1 2 .
§ 681 Nehmen wir jetzt die Flächenbestimmung um uns ein Doppelintegral selbst zu basteln.
Gesucht ist die Fläche eines Rechtecks mit den Seitenlänge a und b, dessen eine Ecke sich
im Ursprung befindet. Das zu bearbeitende Integral ist ∫ dA mit dem Flächenelement da =
A
dx dy. Da sich eine Ecke des Rechtecks im Ursprung befindet läuft die Integration jeweils
von Null bis a bzw. b. Ob wir a entlang der x- und b entlang der y-Achse zählen, ist in der
Aufgabenstellung nicht eindeutig festgelegt – eine Wahl ist so gut wie die andere. Damit
erhalten wir für die Fläche
∫
A ✷ = dA =
A
∫ a
∫ b
x=0 y=0
dy dx =
∫ a
x=0
b dx = ab .
Da die Integrationsgrenzen nicht von einander abhängen, hätten wir die Integration auch
vertauschen können.
0
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007