Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

Kapitel 9
Verallgemeinerte Funktionen
Sometimes, scientists can get absorbed in one extremely
narrow and minute aspect of a problem. The difference between
good science and abstruse curiosity is keeping in mind
the relationship between the detail and the greater pattern
of knowledge into which this detail will have to fit.
Uta Frith
§ 1308 Gemäß Def. 24 ist eine Funktion eine eindeutige Zuordnungsvorschrift zwischen den
Elementen eines Definitionsbereichs und denen eines Wertebereichs W. Entgegen unseren
aus der Schule gepflegten Vorurteilen muss der Definitionsbereich nicht zwingend eine Teilmenge
von R sein sondern kann z.B. auch aus den natürlichen Zahlen N (eine Folge, siehe
Abschn. 2.2) oder komplexen Zahlen C (siehe Abschn. 6.4.5) bestehen. Auch der Wertebereich
ist nicht auf eine Teilmenge der reellen Zahlen R sondern kann komplexe Zahlen C oder
Vektoren R n (siehe Abschn. 3.2.4) umfassen.
§ 1309 Den bisher betrachteten Funktionen ist jedoch gemein, dass wir sie explizit mit Hilfe
einer Zuordnungsvorschrift x ∈ D → f(x) ∈ W dargestellt haben. Lediglich in Abschn. 7.7.3
und 7.7.4 haben wir die Verwendung von Differentialgleichungen zur Definition einer Funktion
kurz gestreift. Verallgemeinerte Funktion werden auch als Distribution (Verteilungsfunktion)
bezeichnet.
§ 1310 In diesem Kapitel werden wir Beispiele für andere als die explizite Darstellung von
Funktionen genauer betrachten. Dabei wird die Darstellung einer Funktion mit Hilfe eines
Integrals im Vordergrund stehen. Als Beispiele werden wir die in der Physik weit verbreitete
Dirac’sche δ-Funktion kennen lernen sowie die Gamma- und die Error-Funktion. Ein Einstieg
in die Funktionen Theorie ist zwar weit jenseits der Ziele dieses Skripts, jedoch werden wir in
den mathematischen Ergänzungen zumindest einige der wichtigsten Grundbegriffe aufgreifen.
§ 1311 Qualifikationsziele: nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollen Sie in der Lage sein
• die Dirac’sche δ-Funktionen mathematisch sauber zu definieren und auf die Beschreibung
physikalischer Probleme anzuwenden.
• verschiedene Darstellungsformen für (verallgemeinerte) Funktionen zu erläutern und Beispiele
dafür zu geben.
• typische verallgemeinerte Funktionen zu erkennen und mit Hilfe von Tabellenwerken und/oder
MatLab darzustellen bzw. auszuwerten.
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