Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

320 KAPITEL 8. MATRIZEN
= (a 11 a 22 − a 21 a 12 )(b 11 b 22 − b 21 b 12 ) =
∣ a ∣ ∣ ∣
11 a 12 ∣∣∣ ∣∣∣ b 11 b 12 ∣∣∣
= detA detB .
a 21 a 22 b 21 b 22
§ 1192 Die Determinante einer Dreiecksmatrix A ist gleich dem Produkt der Hauptdiagonalelemente:
det A ∆ = ∏ i
a ii .
Gemäß Sarrus enthalten alle Produkte außer der Hauptsiagonalen mindestens eine Null und
verschwinden, so dass nur das Produkt entlang der Hauptdiagonalen übrig bleibt.
8.2.5 Reguläre und orthogonale Matrizen
Definition 77 Eine n-reihige quadratische Matrix heißt regulär, wenn ihre Determinante
einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Andernfalls heißt sie singulär.
§ 1193 Mit dieser Definition können wir das Eingangs gemachte Statement über die Lösbarkeit
eines linearen Gleichungssystems umformulieren: ein lineares Gleichungssystem ist dann lösbar,
wenn die Koeffizientenmatrix regulär ist.
§ 1194 Ein sehr spezieller Fall einer regulären Matrix ist die orthogonale Matrix. Die Zeilenbzw.
Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix A bilden ein orthonormiertes System aus
zueinander orthogonalen Einheitsvektoren. Da die Determinante einer orthogonalen Matrix
±1 ist, detA ortho = ±1, ist eine orthogonale Matrix stets regulär. Auch sind die Transponierte
und die Inverse identisch: A T ortho = A−1 ortho
. Das Produkt orthogonaler Matrizen ist wiederum
eine orthogonale Matrix. Beginnen wir mit der Definition der orthogonalen Matrix:
Definition 78 Eine n-reihige quadratische Matrix A heißt orthogonal, wenn das Matrixprodukt
aus A und ihrer Transponierten A T die Einheitsmatrix E ergibt A ortho A T ortho = E.
§ 1195 Als einfachstes Beispiel betrachten wir die Matrix
⎛
A = ⎝ 1 0 0
⎞
0 0 1 ⎠ .
0 1 0
Das Produkt dieser Matrix mit ihrer Transponierten ist
⎛
A A T = ⎝ 1 0 0
⎞ ⎛
0 0 1 ⎠ ⎝ 1 0 0
⎞ ⎛
0 0 1 ⎠ = ⎝ 1 0 0
⎞
0 1 0 ⎠ = E .
0 1 0 0 1 0 0 0 1
Die Matrix A ist demnach eine orthogonale Matrix. Wenn wir die Matrix in (Zeilen- oder)
Spaltenvektoren zerlegen, so erkennen wir in den Vektoren
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⃗a 1 = (a 1i ) =
⎝ 1 0 ⎠ , ⃗a 2 = (a 2i ) =
0
⎝ 0 o
1
⎠
und
⎝ 0 1 ⎠
0
die Einheitsvektoren ⃗e x , ⃗e z und ⃗e y eines kartesischen Koordinatensystems wieder. Und diese
sind orthonormal. Die Determinante der Matrix ist detA = −1, d.h. die Matrix ist regulär –
sie muss es auch sein, da orthogonale Eigenvektoren nicht linear abhängig sein können.
§ 1196 Betrachten wir ein System aus den Einheitsvektoren
⎛
⃗e 1 = √ 1 ⎝ 1 ⎞
⎛
−1 ⎠ , ⃗e 2 = √ 1 ⎝ 1 ⎞
−1 ⎠ und ⃗e 3 =
2
0
2
0
Die Vektoren sind normiert, ⃗e 1 und ⃗e 2 liegen in der xy-Ebene und stehen senkrecht aufeinander,
⃗e 3 definiert die z-Achse und steht damit senkrecht auf den beiden anderen Vektoren.
⎛
⎝ 0 0
1
⎞
⎠
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode