Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

5.5. NUMERISCHE INTEGRATION IN MATLAB 185
zu benutzen. Eine Übersicht über die Codierung derartiger numerischer Verfahren in verschiedenen
Programmiersprachen mit etlichen Beispielen und guten Erläuterungen der Verfahren
gibt [55].
§ 719 Für alle folgenden Beispiele ist die Aufgabe die Bestimmung des bestimmten Integrals
der Funktion f(x) im Intervall von a bis b:
I =
∫ b
a
f(x) dx .
Das Interval [a, b] kann in M Schritte der Länge ∆x eingeteilt werden: ∆x = (b − a)/M. Dies
entspricht der anschaulichen Einführung des bestimmten Integrals: die Fläche unter dem
Funktionsgraphen wird wie in Abb. 5.3 angedeutet, in Streifen zerlegt. Die verschiedenen
Verfahren unterschieden sich nur dadurch, wie der Funktioneswert und damit die Streifenhöhe
bestimmt wird: z.B. am Anfang oder Ende des Intervalls oder als Mittelwert aus beiden.
§ 720 Da die numerische Integration nur auf bestimmte Integrale anwendbar ist und die
zu integrierende Funktion bekannt sein muss, basteln wir uns ein Testbeispiel für die im
Folgenden zu diskutierenden Verfahren: die Funktion f(x) = 3x 2 + 2 ist im Intervall von 2
bis 4 zu integrieren
I =
∫ 4
2
(3x 2 + 2) dx
Als Referenz für die numerischen Verfahren dient die analytische Lösung
I =
∫ 4
2
(3x 2 + 2) dx = [ x 3 + 2x ] 4
2 = 60 .
5.5.1 Mittelpunktsformel
§ 721 Bei Verwendung der Mittelpunktsformel wird das Integral aus Rechtecken der Breite
∆x zusammengesetzt, die Höhe der Rechtecke wird durch den Funktionswert in der Intervallmitte
gegeben:
M∑
M∑
( )
xk−1 + x k
I MP = f(x mk ) ∆x = f
∆x .
2
k=1
k=1
§ 722 In MatLab können wir dieses Integral auswerten, in dem wir einen Vektor der Intervallmitten
erzeugen, den zugehörigen Vektor der Funktionswerte ausrechnen, beide Vektoren
punktweise multiplizieren und die Komponenten des sich dabei ergebenden Vektors addieren:
>> a=2;b=4;M=100;deltx=(b-a)/M; ←↪
>> x=[a+deltx/2:deltx:b-deltx/2]; y=(3*x.*x+2).*deltx; ←↪
>> I = sum(y) ←↪
I =
59.9998
Das Ergebnis ist in guter Übereinstimmung mit dem analytischen Wert aus § 720. Die
Abhängigkeit der Genauigkeit des numerischen Ergebnisses von der Zahl M der Schritte
bzw. der Schrittweite ∆x ist in folgender Tabelle gegeben:
M 1 2 5 10 20 50 100 200 500
∆x 2 1 0.4 0.2 0.1 0.04 0.02 0.01 0.004
I 58 59.5 59.92 59.98 59.995 59.9992 59.9998 60.0000 60.0000
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007