Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

6.2. GRUNDLAGEN 203
§ 784 Ein Spezialfall der Gleichheit ist die Identität mit Null. Eine komplexe Zahl ist dann
gleich Null, wenn ihr Real- und ihr Imaginärteil beide Null sind:
z = 0 ⇔ R(z) = 0 ∧ I(z) = 0 .
6.2.3 Sind komplexe Zahlen Vektoren?
§ 785 NEIN! Die Erinnerung an Vektoren durch die Interpretation komplexer Zahlen als
Paare geordneter reeller Zahlen ist für das Verständnis von Gauß’scher Zahlenebene und
trigonometrischer Darstellung praktisch und hilfreich. Auch lassen sich auf diese Weise die
Regeln für die Addition und Subtraktion leicht verstehen:
Definition 57 Komplexe Zahlen werden addiert/subtrahiert, in dem man ihre reellen und
imaginären Anteile jeweils getrennt addiert/subtrahiert:
z 1 ± z 2 = (a 1 + ib 1 ) ± (a 2 + ib 2 ) = (a 1 ± a 2 ) + i(b 1 ± b 2 ) . (6.5)
§ 786 Diese Behandlung erinnert an die komponentenweise Addition von Vektoren; auch
graphisch werden die Zeiger der beiden komplexen Zahlen in der Gauß’schen Ebene wie
Vektoren addiert. Diese Analogie erstreckt sich auch auf die Multiplikation einer komplexen
Zahl bzw. eines Vektors mit einem Skalar α ∈ R, da dieses als wiederholte Ausführung der
Addition interpretiert werden kann.
§ 787 Bei der Multiplikation der beiden komplexen Zahlen z 1 = a 1 + ib 1 und z 2 = a 2 +
ib 2 jedoch versagt dieses Verfahren. Die geordneten Paare (a 1 , b 1 ) und (a 2 , b 2 ) würden, in
Analogie zum Skalarprodukt, das Ergebnis a 1 a 2 + b 1 b 2 liefern. Führen wir die Multiplikation
jedoch unter Berücksichtigung von i 2 = −1 von Hand aus, so erhalten wir (das korrekte
Ergebnis)
z 1 z 2 = (a 1 + ib 1 ) (a 2 + ib 2 ) = a 1 a 2 + ia 1 b 2 + ib 1 a 2 + i 2 b 1 b 2
= (a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + i(a 1 b 2 + a 2 b 1 ) ≠ a 1 a 2 + b 1 b 2 . (6.6)
§ 788 Diese Definition der Multiplikation führt bei der Bestimmung des Betrages einer komplexen
Zahl zu Schwierigkeiten. Für einen Vektor ⃗r ist der Betrag über das Skalarprodukt
definiert: r = |⃗r| = √ ⃗r · ⃗r. Multiplikation einer komplexen Zahl z = a + ib mit sich selbst
ergibt
z z = (a + ib) (a + ib) = (a 2 − b 2 ) + 2iab .
Dieser Ausdruck kann nicht den Betrag beschreiben, da der Betrag eine reelle Größe ist, d.h.
der Imaginärteil muss verschwinden. Dies lässt sich erreichen, in dem man die Zahl z nicht
mit sich selbst sondern einer Variante z ∗ = a − ib ihrer selbst multipliziert:
|z| = √ z ∗ z = √ (a − ib) (a + ib) = √ a 2 − i 2 b 2 = √ a 2 + b 2 . (6.7)
Diese Größe z ∗ wird als das konjugiert Komplexe von z bezeichnet:
Definition 58 Das konjugiert Komplexe einer komplexen Zahl z = a + ib ist die komplexe
Zahl z ∗
z ∗ = z = a − ib .
§ 789 Graphisch erhält man die konjugiert komplexe Zahl durch Spiegelung an der Abszisse,
siehe Abb. 6.2. In der trigonometrischen Darstellung wird aus dem geordneten Paar (r, ϕ)
das Paar (r, −ϕ).
§ 790 Die Eingangsfrage, ob komplexe Zahlen Vektoren sind, haben wir bereits mit Nein
beantwortet. Die Umkehrung, d.h. die Frage, ob Vektoren ⃗r aus komplexen Zahlen bestehen
können, müssen wir dagegen bejahen. Der Begriff des Vektors lässt sich von geordneten
Paaren reeller Zahlen auf geordnete Paare komplexer Zahlen erweitern: auch r i ∈ C ist mit
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007