Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

400 KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
§ 1498 Und warum reichen nicht die auf den ersten Blick anschaulicheren integralen Formulierungen?
Die Maxwell’schen Gleichungen sind völlig bedeutungslos, wie sowohl von Maxwell
als auch Faraday betont wurde: die Gleichungen sind Beschreibungen von Phänomenen, aber
sie haben keine Anwendung. Seit Hertz wissen wir es etwas besser: aus den Maxwell’schen
Gleichungen ergibt sich z.B. die elektromagnetische Welle – ohne diese würde ein großer
Teil der heutigen Kommunikationssysteme nicht existieren. Die elektromagnetische Welle
lässt sich, wie in Abschn. 11.1.2 gezeigt, problemlos aus der differentiellen Form der Maxwell’schen
Gleichungen herleiten – in der integralen Form ist eine entsprechende Herleitung
nicht einfach möglich, da sich die verschiedenen Gleichungen nicht mehr einfach miteinander
verknüpfen lassen
§ 1499 Die gesamte Plasmaphysik basiert auf der Anwendung der Maxwell’schen Gleichungen
(und einiger weiterer Gleichungen). Auch hier ist die formale Herausforderung die geschickte
Kombination verschiedener Gleichungen, u.a. auch um neue Phänomene wie einund
ausgefrorene Magnetfelder, den magnetischen Zug und Druck und darauf basierend die
Alfven-Welle herzuleiten – eine Welle, bei der eine Magnetfeldlinie entsprechend einer Saite
schwingt.
10.6.3 Konservative Felder
§ 1500 Mit Hilfe des Stokes’schen Satzes lässt sich zeigen, dass ein Feld F ⃗ = ∇U konservativ
ist, d.h. das Linienintegral vom Punkt P 1 zum Punkt P 2 wegunabhängig ist. Auf der rechten
Seite des Stokes’schen Satzes (10.22) wird die Rotation des Feldes benötigt: ∇ × F ⃗ = ∇ ×
∇U = 0. Damit ist auch
∮ ∫
⃗F · d⃗r = ∇ × F ⃗ · dS ⃗ = 0 .
Das Integral entlang eines beliebigen geschlossenen Weges verschwindet also. Zerlegen wir
den Weg in zwei Teile −−−→ P 1 P 2 und −−−→ P 2 P 1 so erhalten wir
∮
∫P 2 ∫P 1
∫P 2 ∫P 2
⃗F dS ⃗ = F ⃗ · d⃗r + F ⃗ · d⃗r = 0 ⇒ F ⃗ · d⃗r − F ⃗ · d⃗r = 0
P 1 P 2 P 1 P 1
wobei die Pfade zwischen P 1 und P 2 beliebig sein können.
Kontrollfragen
Kontrollfrage 33 Erläutern Sie anschaulich die Bedeutung von Gradient, Divergenz und
Rotation. Geben Sie Beispiele.
Kontrollfrage 34 Erläutern Sie die Integralsätze; geben Sie Beispiele für ihre Anwendung.
Fragen
Frage 107 Was versteht man unter dem Fluss? Geben Sie auch eine anschauliche Interpretation.
Frage 108 Ist ein Geschwindigkeitsfeld, in dem sich keine Wirbel im anschaulichen Sinne
befinden, zwingend wirbelfrei?
Frage 109 Begründen Sie anschaulich und formal warum Gradientenfelder wirbelfrei sind.
Frage 110 Begründen Sie anschaulich und formal warum Wirbelfelder quellenfrei sind.
Frage 111 Was versteht man unter der Parameterdarstellung räumlicher Kurven? Geben
Sie Beispiele.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode