Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

12.5. SCHLIESSENDE STATISTIK 477
Mathematische Probleme
Aufgabe 287 X sei eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion (a) f(x) = x 2
für
0 ≤ x ≤ 2, (b) f(x) = λ e −λx für x ≥ 0, λ > 0), (c) f(x) = 1 x
für x ≥ 1. Außerhalb der
2
angegebenen Intervalle ist f(x) = 0. Bestimmen Sie die jeweilige Verteilungsfunktion.
Aufgabe 288 Eine stetige Zufallsvariable X genüge einer Gamma-Verteilung mit der Dichtefunktion
{
f(x) = λ 2 x e −λx x > 0
0 x ≤ 0
mit λ > 0). Berechnen Sie die Kennwerte bzw. Maßzahlen der Verteilung.
Aufgabe 289 100 Messungen einer physikalischen Größe weisen auf eine relative Varianz
von 2% hin. Wie verändert sich die Varianz, wenn die Serie auf 1000 Messungen erweitert
wird?
Physikalische Anwendungen
Aufgabe 290 Ein radioaktiver Strahler emittiert α-Teilchen mit einer Rate λ von 1.5 pro
Minute. Bestimmen sie die mittlere erwartete Zahl von α-Teilchen, die in einem Intervall von
2 min beobachtet wird. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten, 0, 1, 2, 3, 4, oder mindestens
5 Zerfälle in diesen zwei Minuten zu beobachten.
Aufgabe 291 Bei der Untersuchung von Fehlstellen in einem Kristall haben Sie in einer
Probe A 6 Fehlstellen gefunden, in einer gleich großen Probe B dagegen 10 Fehlstellen. Ist
A der bessere Kristall? Wie würden Sie die Frage beantworten, wenn Sie durch Auszählung
eines größeren Kristalls 60 Fehlstellen in A und 100 in B erhalten hätten?
Aufgabe 292 Die Gesamtenergie des Systems eines horizontalen Federpendels ist E =
1
2 mv2 + 1 2 kx2 . Im Praktikumsversuch wurden gemessen: Masse m = 0.230 ± 0.001 kg, Geschwindigkeit
v = 0.89 ± 0.01 m/s, Federkonstante k = 1.03 ± 0.01 N/m und Auslenkung
x der Feder 0.551 ± 0.005 m. Wie groß ist die Gesamtenergie und deren Fehler? In einer
Folgemessung wird die weiteste Auslenkung zu x max = 0.698 ± 0.002 m bestimmt. Wie groß
ist dort die Energie? Sind die Ergebnisse mit der Erhaltung der Energie konsistent?
Aufgaben mit MatLab Bezug
Aufgabe 293
Aufgabe 294
Literatur
§ 1773 Eine sehr gute Einführung mit vielen Beispielen und Aufgaben geben Weber und
Zillmer [?], auch die Kapitel im Papula [46] sind hilfreich. Eine ausführliche Darstellung zur
Kombinatorik gibt Tittmann [?], Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Anwendungen
werden sehr anschaulich in Subrahmaniam [?] behandelt. Die beiden Bändchen von Beck-
Bornholdt und Dubben [4, 5] sind sehr unterhaltsam und zeigen, dass Statistik mit Vorsicht
zu genießen ist.
§ 1774 Gute Darstellungen zur Statistik und Fehlerrechnung (inkl. der hier nicht betrachteten
schließenden Statistik) finden sich z.B. in [31, ?, ?, ?], eine sehr ausführliche Darstellung
gibt Bortz [?]. Als unterhaltsame Ergänzung eignen sich wieder die beiden Bändchen von
Beck-Bornholdt und Dubben [4, 5]. Die Darstellung der Verfahren in Press und Koautoren
[55] ist zwar knapp aber sehr gut – und hat den Vorteil, auch numerische Verfahren zu liefern.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007