Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

236 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Separation der Variablen bei konstantem Summanden und konstanten Koeffizienten
Definition 63 Eine Differentialgleichung der Form
ẋ = ax + b mit a, b ∈ R
wird als homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstantem Summanden
und konstanten Koeffizienten bezeichnet.
§ 913 Auch bei der homogenen linearen DGL erster Ordnung mit konstantem Summanden
lässt sich das oben beschriebene Verfahren der Separation der Variablen anwenden. Der
einzige Unterschied besteht in eben diesem additiven Term. Eine Separation ist für a(t) nicht
möglich, da wir in dem Fall stets an irgendeiner Stelle einen Faktor a(t) auf der falschen Seite
behalten, z.B.
dx
dt = a(t)x(t) + b ⇒ a(t) dt = dx
x + b/a(t) .
Für einen konstanten Koeffizienten a = const dagegen funktioniert dieses Verfahren. Separation
liefert dann
dx
dt
= ax + b ⇒ a dt =
dx
x + b/a .
Die linke Seite ist unverändert gegenüber dem oben beschriebenen Verfahren, auf der rechten
Seite muss die Integration mit u = x+b/a gemäß Substitutionsregel ausgeführt werden. Nach
der Integration wird re-substituiert und nach x aufgelöst:
x = − b a eat + b a = b a (1 − eat ) = x 0 (1 − e at ) .
Zwischenrechnung 27 Rechnen Sie das Verfahren mit allen Zwischenschritten sorgfältig
nach. Zeigen Sie ferner, dass der letzte Ausdruck Lösung der DGL ist.
Exponentialansatz
§ 914 Ein universelles Lösungsverfahren für homogene Differentialgleichungen auch höherer
Ordnungen mit konstanten Koeffizienten ist der Exponentialansatz. Während das Verfahren
der Separation der Variablen auf lineare homogene DGLs erster Ordnung beschränkt ist,
lassen sich mit Hilfe des Exponentialansatzes auch DGLs höherer Ordnung lösen – die in
Abschn. 7.4 behandelten DGLs zweiter Ordnung werden wir alle mit Hilfe eines Exponentialansatzes
lösen.
§ 915 Der wesentliche Teil der homogenen DGL erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten,
d.h.
ẋ = ax mit a = const , (7.7)
besagt, dass die gesuchte Funktion proportional zu ihrer ersten Ableitung ist. Die Exponentialfunktion
erfüllt diese Eigenschaft. Also ist ein Ansatz der Form
x(t) = x 0 e λt
sinnvoll. Die erste Ableitung dieses Ausdrucks ist
ẋ = λx = λx 0 e λt .
Einsetzen in (7.7) liefert
λx 0 e λt = a x 0 e λt .
Diese Aussage ist erfüllt für λ = a, d.h. die DGL (7.7) wird von einer Funktion
x(t) = x 0 e at
gelöst. Diese Lösung entspricht der bereits aus dem Separationsansatz bekannten.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode