Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.10. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN MATLAB 293
Abbildung 7.26: Lösung der DGL
mittels Runge–Kutta Verfahren 4.
Ordnung
§ 1104 Die Rechenvorschrift für ein Runge–Kutta Verfahren 4. Ordnung ist gegeben als
mit
x(t i ) = x(t i−1 ) + ∆t
6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )
(
k 1 = f(t i−1 , x i−1 ) , k 2 = f t i−1 + ∆t
2 , x i−1 + ∆t k )
1
(
2
k 3 = f t i−1 + ∆t
2 , x i−1 + ∆t k )
2
, k 4 = f (t i , x i−1 + ∆t k 3 ) .
2
§ 1105 Um diese Routine selbst in MatLab zu implementieren, verwenden wir wieder das
Beispiel aus § 1085. Die Numerik steckt im folgenden Teil des Programms:
x(1)=2;
for i=2:length(t);
k1=feval(fh,t(i-1),x(i-1));
k2=feval(fh,t(i-1)+dt/2,x(i-1)+dt*k1/2);
k3=feval(fh,t(i-1)+dt/2,x(i-1)+dt*k2/2);
k4=feval(fh,t(i),x(i-1)+dt*k3);
x(i)=x(i-1) + dt*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
end
Hier werden zuerst die Koeffizienten k i , entsprechend den verschiedenen Ansätzen für die
Steigung in verschiedenen Punkte des Intervalls bestimmt. Dann wird die Lösung um einen
Schritt in ∆x fortgeführt.
§ 1106 Das vollständige Skript befindet sich in der Datei rungekuttaskript, die Ergebnis- rungekuttaskript
se für das obige Beispiel sind in Abb. 7.26 gezeigt. Die relative Abweichung zwischen der
analytischen und der numerischen Lösung liegt in der Größenordnung von 2 · 10 −6 , d.h. sie
ist bei gleicher Schrittweite für diese DGL um drei Größenordnungen besser als im Leapfrog
Verfahren und um 5 Größenordnungen besser als im Euler Verfahren. Diese Zahlen gelten
jedoch nur für dieses spezielle Beispiel, bei anderen Differentialgleichungen müssen die Unterschiede
nicht so groß ausfallen. Auch sollten Sie sich nicht von einer zu großen Genauigkeit
blenden lassen: das Runge–Kutta Verfahren ist hier zwar wesentlich genauer als das Leapfrog
Verfahren, benötigt auf Grund der vielen, in jeder Schleife neu zu berechnenden Koeffizienten
k i jedoch recht viel Rechenzeit. Im Sinne einer Laufzeitoptimierung kann daher das Leapfrog
Verfahren das interessantere sein: es ist einerseits deutlich genauer als das Euler Verfahren
und andererseits schneller als das Runge–Kutta Verfahren, dessen Genauigkeit gar nicht
immer erforderlich ist.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007