Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

96 KAPITEL 3. FUNKTIONEN
Abbildung 3.10: Annäherung an den
Logarithmus aus bekanntem Funktionswert
ln(1) = 0 und aus der bekannten
Ableitung bestimmten Steigungen
Nach Variablentransformation mit u = 1 + v lässt sich dieses Integral schreiben als
ln(1 + x) =
∫ x
0
1
1 + v dv .
Für |v| < 1 lässt sich dieser Ausdruck mit Hilfe von (2.11) zu einer binomischen Reihe
umschreiben
ln(1 + x) =
∫ x
Das Integral lässt sich ausführen
0
(
1 − v + v 2 − v 3 + . . . ) dv |v| < 1 .
ln(1 + x) = x − x2
2 + x3
3 − x4
4 + . . . |v| < 1 .
Da diese Reihe konvergiert, können wir jetzt mit beliebiger Genauigkeit die Werte von ln x
mit x ∈ (0, 2) bestimmen (vgl. § 237).
§ 388 Diese Reihendarstellung ist allerdings noch unbefriedigend, da die Reihe auf den Bereich
zwischen 0 und 2 beschränkt ist, also nicht für alle x gilt. Die Reihenentwicklung ist
aber ausreichend, um den natürlichen Logarithmus für beliebige x zu bestimmen. Ein mathematischer
Trick hilft aus der Patsche. Die Funktion
X = 1 + x
1 − x
läuft von 0 bis unendlich für −1 < x < 1. Damit schreiben wir
( ) 1 + x
ln(X) = ln = ln(1 + x) − ln(1 − x) |x| < 1 , 0 < X < ∞ .
1 − x
Damit können die natürlichen Logarithmen aller positiver reeller Zahlen als Differenz der
natürlichen Logarithmen von zwei Zahlen aus dem Bereich zwischen Null und 2 dargestellt
werden.
Exponentialfunktion
§ 389 Die Ableitung x −1 des natürlichen Logarithmus zeigt, dass es sich dabei um einen
streng monoton wachsende Funktion handelt. Also gibt es eine wohl definiert Umkehrfunktion,
die Exponentialfunktion. Diese können wir definieren als
ln(exp(x)) = x .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode