Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

11.5. POISSON GLEICHUNG 425
§ 1577 Das Potential hängt auf Grund der Symmetrie nur von r ab: U = U(r). Mit dem
Gradienten in Kugelkoordinaten (4.7) und dem Flächenelemet auf der Kugeloberfläche gemäß
(4.21) erhalten wir
∮ ∂U
∂r ⃗e r · ⃗e r r 2 dΩ = − Q ε 0
mit Ω als dem Raumwinkel. Da die Integration nicht von r abhängt, können wir durch r 2
dividieren und erhalten
∂U
∂r = − Q
4πε 0 r 2 . (11.29)
Integration liefert das Coulomb-Potential
U =
Q
4πε 0 r , (11.30)
wobei die Integrationskonstante so gewählt wurde, dass U → 0 für r → ∞.
§ 1578 Da das elektrische Feld definiert ist als ⃗ E = −∇U erhalten wir dieses direkt aus
(11.29) zu
⃗E =
Q
4πε 0 r 2 ⃗e r . (11.31)
§ 1579 Gleichungen (11.30) und (11.31) gelten insbesondere auch für eine δ-förmige Ladungsverteilung
ϱ(r) = q δ(r).
11.5.2 Green’sche Funktion und allgemeine Ladungsverteilung.
§ 1580 In vielen physikalischen Problemen lässt sich die Antwort des Systems auf eine Anregung
mit einer δ-Funktion formal einfach bestimmen: diese Systemantwort wird als die
Green’sche Funktion des Systems bezeichnet, manchmal auch Impulsantwort oder Sprungantwort
genannt. Die Reaktion auf eine zeitlich oder räumlich ausgedehnte Anregung lässt sich
dann durch die Überlagerung vieler Reaktionen auf δ-Funktionen darstellen. Diese Überlagerung
der Impulsantworten ist ein Superpositionsprinzip und damit auf lineare Systeme beschränkt.
In diesen erlaubt die Verwendung der Green’schen Funktion jedoch häufig eine sehr einfache
und elegante Lösung.
Definition 90 Die Green’sche Funktion eines Systems ist die Antwort des Systems auf eine
Anregung durch eine δ-Funktion.
§ 1581 Da das elektrische Potential einer Punktladung durch eine δ-Funktion erzeugt wird,
muss es einen Zusammenhang zwischen diesem Potential und der Green’schen Funktion gegeben.
Dieser Zusammenhang soll allgemein gültig sein, d.h. die einzige spezielle Größe in
(11.30), die Ladung q, ist nicht Bestandteil der Green’schen Funktion.
§ 1582 Die Poisson Gleichung für eine Punktquelle lässt sich mit der Green’schen Funktion
G schreiben als
∆G(⃗r) = −δ(⃗r)
mit der Lösung
G(⃗r) = 1
4πε 0 r .
§ 1583 Befindet sich die Punktquelle nicht im Ursprung sondern an einem Ort ⃗r ′ , so wird
die Poisson Gleichung
∆G(⃗r − ⃗r ′ ) = −δ(⃗r − ⃗r ′ )
mit der Lösung
G(⃗r − ⃗r ′ ) =
1
4πε 0 |⃗r − ⃗r ′ | . (11.32)
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007