Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

9.2. DIE DIRAC’SCHE DELTA FUNKTION 357
und die normiert ist:
∫ ∞
−∞
δ(x) dx = 1 .
§ 1331 Die δ Funktion gibt also zusammen mit einer Funktion den Funktionswert an der
Stelle, an der die δ-Funktion von Null verschieden ist. Die von einer an der Stelle x 0 befindlichen
Punktladung q erzeugte Ladungsdichte ϱ(x) ist dann
ϱ(x) =
∫ ∞
−∞
q δ(x − x 0 ) dx .
Für eine Ladungsdichteverteilung mehrerer Ladungen q k an den Orten x k erhalten wir entsprechend
ϱ(x) = ∑ k
∫ ∞
−∞
q k δ(x − x k ) dx .
In verkürzter Schreibweise, vgl. (9.6), lässt sich die Punktladung darstellen als
ϱ(x) = q δ(x − x 0 ) ,
die aus mehreren Ladungen erzeugte Ladungdichteverteilung als
ϱ(x) = ∑ k
q k δ(x − x k ) .
Die Ausdrücke für eine Ladungsdichteverteilung im dreidimensionalen ergeben sich unter
Verwendung der dreidimensionalen δ Funktion und der Ortsvektoren ⃗r anstelle der Orte x
entsprechend zu
ϱ(⃗r) = q δ(⃗r − ⃗r 0 ) bzw. ϱ(⃗r) = ∑ k
q k δ(⃗r − ⃗r k ) .
§ 1332 Betrachten wir wieder das Federpendel mit der Masse m und der Federkonstanten
k, vgl. Abschn. 7.5.1. Für einen Kraftstoß erhalten wir eine Bewegungsgleichung der Form
mẍ = −kx+P δ(t−t 0 ). Hier verschwindet die äußere Kraft für alle Zeiten außer zum Zeitpunkt
t 0 und entspricht einem endlichen Impulsübertrag ∆p, z.B. einem einmaligen Anstoßen aus
der Ruhelage.
9.2.3 Eigenschaften der Delta Funktion
§ 1333 Die wesentlichen Eigenschaften der δ Funktion haben wir bereits in ihrer Definition
bzw. den Annäherungen durch andere Funktionen kennen gelernt:
1. Die δ Funktion ist Null, falls nicht das Argument Null ist:
δ(h(x)) = 0 ∀x mit h(x) ≠ 0 .
2. Die Delta Funktion ist eine gerade Funktion:
δ(x − x 0 ) = δ(x 0 − x) .
3. Die δ Funktion ist durch ihre Anwendung auf eine andere Funktion definiert, vgl. (9.4).
Diese Definition beinhaltet eine Produktbildung zwischen der δ Funktion und der Funktion
f(x). Letzteres ist nur erlaubt, wenn f(x) nicht singulär ist; ein Produkt δ 2 kann
daher nicht gebildet werden.
§ 1334 Aus der Definition können lassen sich weitere Eigenschaften ableiten, vgl. auch [1, 7,
70]:
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007