Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

386 KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
Abbildung 10.8: Darstellung einer
Fläche durch Parameterlinien mit
u = const und v = const
§ 1448 Mit Hilfe dieser beiden Vektoren lässt sich das begleitende Dreibein definieren, ein
System aus drei orthonormalen Vektoren, die sich mit dem Körper entlang der Bahnkurve
bewegen:
⃗e t Tangenteneinheitsvektor
⃗e n Hauptnormaleneinheitsvektor
⃗e b Binormaleneinheitsvektor ⃗e b = ⃗e t × ⃗e n
Die beiden Normalenvektoren spannen die Ebene senkrecht zur Bahnkurve auf. Erfolgt die
Bewegung in einer Ebene, so ist ⃗e b konstant und die Ebene wird durch ⃗e t und ⃗e n aufgespannt.
Flächen im Raum
§ 1449 Für die Darstellung einer Fläche im Raum nehmen wir Anleihe bei der Parameterdarstellung
einer Kurve im Raum. Eine Fläche im Raum lässt sich durch einen Ortsvektor
beschreiben, der von zwei Parametern u und v abhängt:
⎛ ⎞
x(u, v)
⃗r = ⃗r(u, v) = ⎝ y(u, v) ⎠ .
z(u, v)
Die Fläche wird von einem Netz von Parameter- oder Koordinatenlinien durchzogen, vgl.
Abb. 10.8. Entlang der Parameterlinien ist jeweils einer der Parameter konstant. Die Breitenund
Längenkreise auf der Erdkugel sind ein Beispiel für Parameterlinien.
§ 1450 Ein Flächenelement d ⃗ S können wir beschreiben durch seine Richtung und seinen
betrag. Dazu bilden wir Tangenteneinheitsvektoren entlang der beiden Parameterlinien u
und v:
⃗t u = ∂⃗r
∂u
bzw.
⃗t v = ∂⃗r
∂v .
§ 1451 Das Kreuzprodukt der beiden Tangenteinheitsvektoren bildet einen Vektor, der senkrecht
auf dem Flächenelement steht und dessen Betrag ein Maß für die Größe des Flächenelements
ist. Einen Eineitsvektor senkrecht auf dem Flächenelement, auch als Flächennormale bezeichnet,
erhalten wir als
⃗e n = ⃗ t u × ⃗t v
|⃗t u × ⃗t v | .
Dieser Vektor steht senkrecht auf der von den beiden Tangentenvektoren gebildeten Tangentialebene
an die Fläche. Damit ergibt sich für die Gleichung der Tangentialebene in einem
festen Flächenpunkt ⃗r 0
⃗e n,0 · (⃗r − ⃗r 0 ) = 0 .
§ 1452 Bisher haben wir uns um die Richtung des Flächenelements gekümmert, jetzt fehlt
noch dessen Betrag. Dieser wird bestimmt durch die Differentiale du und dv, so dass wir für
das Flächenelement erhalten
dA = |⃗t u × ⃗t v | du dv .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode